[Risolto] Problema di fisica

1) La quantità di moto totale è la somma algebrica delle quantità di moto delle due masse:

$mv+MV=32 kg \dot m/s$

prendendo positivo la direzione verso destra. 

2) L'energia meccanica totale è la somma delle energie cinetiche delle due masse, visto che a riposo l'energia della molla può essere presa nulla:

$\frac{1}{2}(mv^2+MV^2)=152 J$

3) Posizione della prima massa

$x(t) =v t+x_A$

della seconda

$x(t) =V t+x_B$

Eguagliando le posizioni si ricava

$t_u=\frac{x_B-x_A} {v-V} =0.1 s$

4) La posizione è 

$x_u=x(0.1) =v t+x_A= V t+x_B=2.2m$

5) Le velocità dopo l'urto si trovano uguagliando quantità di moto e energia cinetica totale tra prima e dopo l'urto

$mv'+MV'=mv+MV$

$\frac{1}{2}(mv'^2+MV'^2)=\frac{1}{2}(mv^2+MV^2)$

Risolvendo si trova per la coppia di velocità finali 

$v'=-1.33m/s$ (verso sinistra) 

$V'=8.67 m/s$

6) Per l'istante quando la massa grande arriva sulla molla da dopo l'urto:

$V't'+x_u=x_C$

da cui $t'=0.09s$

Se si vuole il tempo dall'inizio va sommato il tempo per arrivare all'urto $t_u$, quindi il tempo totale è è

$t_C=0.109s$

7)La compressione della molla si calcola eguagliando l'energia cinetica della massa quando tocca la molla alla energia potenziale massima della molla (massa ferma alla massima compressione) 

$\frac{1}{2}MV'^2=\frac{1}{2}k \Delta^2$

Da cui $\Delta=3.16m$

8) Il tempo impiegato per comprimere la molla da quando la massa giunge in C è un quarto del periodo di oscillazione:

t''$=\frac{1}{4}2\pi\dot(M/k)^{0.5} =0.57s$

Se si vuole rispetto al tempo iniziale va sommato il $t_C$ a dare:

$t_M=0.68s$

9) La posizione della massa piccola dal tempo iniziale è 

$x(t)=v'(t-t_u)+x_u$

con $t>t_u$

La posizione della massa grande dal tempo iniziale è 

$x(t)=-V'(t-t_L) +x_C$

con $t>t_L$

Con $t_L$ tempo quando la massa lascia la molla pari a $t_L=t_M$+t''$=1.25s$ (un quarto del periodo per raggiungere il punto C alla velocità $-V'$

Uguagliando le posizioni si trova il tempo per il nuovo urto

$t_U=1.57s$

a) La quantità di moto del sistema è $mv+MV=2*12+4*2=32 kgm/s$

b) l'energia meccanica è soltanto cinetica e data da $E_{mecc}= \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}MV^2= 0.5*2*12^2+0.5*4*2^2=144+8=152J$

c) supponendo che le due velocità siano concordi allora lo spazio percorso da $m$ si può scrivere come $x_m(t)=12t$ e quello percorso da $M$ come $x_M(t)=1+2t$. Si incontrano quando i due spazi percorsi sono uguali, quindi $12t=1+2t$ quindi $t=0.1 s$

d) dopo 0.1 s la massa M ha percorso 0.2 m dalla sua posizione iniziale $x_B=2m$, quindi il punto dell'impatto è $x=2.2m$

1) La quantità di moto totale M

M =  M1+M2 = mV1+MV2  = 2*12+4*2 = 32 kg*m/sec verso destra 

2) L'energia meccanica totale E è la somma delle energie cinetiche Ek1 ed Ek2 delle due masse (la molla è ferma)

E = 1*12^2+2*2^2 = 144+8 = 152 joule

3) tempo di impatto t tra le masse 

2*t +1 = 12t 

1 = 10 t 

t = 0,1 sec 

4) La posizione  d (rispetto alla molla)

d = 3-12*0,1 = 1,8 m 

d = 2-2*0,1 = 1,8 m 

5) Le velocità dopo l'urto si trovano uguagliando quantità di moto e energia cinetica totale tra prima e dopo l'urto

mV1+MV2=mV1'+MV2'

1*12^2+2*2^2 = 1*V1'^2+2*V2'^2 

risolvendo :

V1' = −1,33 m/sec (retrocede) 

V2′ = 8,(6) m/s

6) tempo di impatto t1 di M con la molla a partire dall'urto  

t1 = d/V2' = 1,8/8,(6) = 0,208 sec  ( 0,308 sec a partire dal pre-urto)

7) La compressione x della molla

M*V2'^2 = k*x^2

x = √4*(8,(6))^2/300 = 1,00 m 

8) Il tempo t2  impiegato per comprimere la molla da quando la massa giunge in C è un quarto del periodo di oscillazione T :

T = 6,2832√M/k = 0,726 sec 

t2 = 0,726/4 = 0,182 sec

9) la velocità si ritorno di M é pari a -8,(6) m/sec e viene raggiunta con la molla nella posizione di riposo 

 V1'*t4+1,8 = V2'*(t4-(t1+T/2) 

1,33*t4+1,8 = 8,666*(t4-0,208+0,726/2) = 

7,33t4 = 4,948+1,8 

t4 = (4,948+1,8)/7,33 = 0,921 sec a partire dall'urto 

pos. x'' rispetto a C

x'' = 1,8+1,33*t4 = 1,8+1,33*0,921 = 3,0 m (punto di partenza di A)