fisica 3

@harrypotter

Rotta la molla, i due carrellini incominciano a muoversi uno verso destra e uno verso sinistra di moto uniformemente accelerato. Scelgo un sistema di riferimento in cui spostamento, velocità e accelerazione del primo carrello sono positivi, 

Dalla definizione di accelerazione, essendo la velocità iniziale dei due carrellini nulla:

a2 = v2/t

Dalla legge oraria del moto:

S2 = 1/2*a2 *t²

Sostituendo la prima equazione nella seconda, otteniamo:

v2= (2*s2)/t = [(2* ( - 1,3)/1,6]  = - 1,625 m/s

Il sistema meccanico molla + carrellini è isolato. Possiamo quindi  applicare il principio di conservazione della quantità di moto. I due carrellini sono inizialmente fermi, quindi è zero la quantità di moto Q.

Posso determinare la velocità del primo carrello applicando il suddetto principio:

m1*v1 + m2*v2 = 0

Da cui si ricava:

v1 = - (m2*V2) /m1 = -  (1,2*1,625)/1,9 = 1,026 m/s

Essendo la velocità iniziale nulla anche per il primo carrello, dalla definizione di accelerazione ricavo:

a1= v1/t = 1,026/1,6 = 0,641 m/s²

Utilizziamo la legge oraria del moto uniformemente accelerato per calcolare s1:

s1 = 1/2 *a1 * t² = 0,5*0,641*1,6² = 0,82 m

Come sappiamo S2 ci è stato fornito come dato del problema e, vista la scelta iniziale fatta per il sistema di riferimento, vale:

s2 = - 1,3 m

Resta da calcolare la compressione iniziale della molla. 

Possiamo utilizzare il principio di conservazione dell'energia meccanica. Non essendo presenti forze dissipative, l'energia potenziale elastica immagazzinata dalla molla compressa viene convertita completamente in energia cinetica dei due carrellini.

Quindi:

1/2*k*x² = 1/2*m1*v1² + 1/2*m2*v2²

Da cui si ricava:

x= radice [(m1*v1² + m2*v2²) /k] 

Sostituendo i valori numerici otteniamo:

x= 0,138 m = 13,8 cm

@harrypotter

Ciao comincia a vedere lo schema di figura:

Adesso devo uscire. Se mi ricordo stasera ti invio la mia soluzione. Ciao.

 Riprendo. Con riferimento alla figura di sopra diciamo η e μ le velocità dei carrellini raggiunte dopo un tempo pari a t= 1.6 s.

Tali velocità sono legate al principio di conservazione della quantità di moto iniziale del sistema che è nulla e quindi nulla deve anche essere al tempo t =1.6 s:

1.9·η + 1.2·μ = 0 ove i coefficienti dell'equazione sono le due masse dei carrellini.

Il secondo carrellino ha un'accelerazione pari a:

a = μ/1.6 che da un punto di vista cinematico è legata al rapporto tra la velocità ed il tempo per raggiungere tale velocità.

Si sa inoltre lo spazio percorso dal carrellino per raggiungere tale velocità e che è legato ad un moto uniformemente accelerato:

s = 1/2·a·t^2------> 1.3 = 1/2·μ/1.6·1.6^2----> 13/10 = 4·μ/5

quindi: μ = 13/8 m/s   (μ = 1.625 m/s)

Quindi determiniamo pure l'altra velocità del primo carrellino:

1.9·η + 1.2·1.625 = 0------> η = - 39/38 m/s  negativa perché diretta verso sinistra.

(η = -1.0263 m/s)

Per il primo carrellino si ha:

a = η/1.6 e quindi: s = 1/2·η/1.6·1.6^2= 1/2·(- 39/38)/1.6·1.6^2 

Quindi lo spazio percorso dal secondo carrellino è: s = - 78/95 m = -0.821 m circa

(cioè il primo carrellino si è spostato in senso opposto al secondo di circa la metà)

per quanto riguarda la compressione della molla iniziale possiamo dire che è ottenibile dal principio di conservazione dell'energia meccanica del sistema. 

All'istante iniziale si ha:

1/2·k·x^2 = energia immagazzinata nella molla (solo)

Dopo t=1.6 s si ha una energia cinetica complessiva pari a:

1/2·1.9·η^2 + 1/2·1.2·μ^2

Quindi, inserendo i dati:

135·x^2 = 19·η^2/20 + 3·μ^2/5

135·x^2 = 19·(- 39/38)^2/20 + 3·(13/8)^2/5

135·x^2 = 15717/6080-------> x = - 13·√589/2280 ∨ x = 13·√589/2280

cioè x = 0.1384 m circa 13.8 cm

Una molla di massa trascurabile e costante elastica k = 270 N/m è compressa tra due carrellini fermi di massa M1 = 1,9 kg ed M2 = 1,2 kg  tenuti collegati da un filo. All'istante t = 0 s il filo si rompe e la molla si dilata spingendo via i carrellini, che si muovono senza attrito. All'istante t= 1,6 s, finita la spinta della molla che non è più compressa, il secondo carrellino si trova ad avere percorso 1,3 m.

Calcola la posizione del primo carrellino all'istante t e le velocità dei due carrellini allo stesso istante

S2 = 1,3 = a2/2*t^2

a2 = 2*S2/t^2 = 2,6/2,56 = 1,016 m/sec^2 = k*x/M2 

compressione iniziale x = 1,016*1,2/270 = 0,00452 m = 4,52 mm

accelerazione a1 = a2*M2/M1 = 1,016*1,2/1,9= 0,642 m/sec^2 

S1 = a1/2*t^2 = 0,321*2,56 = 0,822 m 

V1 = a1*t1 = 0,642*1,6 = 1,027 m/sec 

V2 = a2*t = 1,016*1,6 = 1,625 m/sec 

Forza impulsiva:

F * (Delta t) = m * (Delta v);

F = m * (Delta v) / ( Delta t) = m * a;

F = forza della molla = k * x;

Delta t = 1,6 s;

S = 1/2 a t^2; moto accelerato.

Per il secondo carrellino:

S = 1,3 m;

a2 = 2 S / t^2 = 2 * 1,3 /1,6^2 = 1,02 m/s^2; accelerazione del secondo carrellino.

v finale del secondo carrellino :

v2 = a * t = 1,02 * 1,6 = 1,63 m/s;

Si conserva la quantità di moto;

Qo = 0 kg m/s; i carrelli sono fermi:

Q1 = 0;

M2 * v2 +  M1 * v1 = 0;

velocità finale del primo carrellino di massa M1 = 1,9 kg:

v1 = - M2 * v2 / M1 = - 1,2 * 1,63 / 1,9 ;

v1 = - 1,03 m/s; (in verso contrario);

accelerazione del primo carrellino:

a1 = (v1 - 0) / Delta t  = - 1,03 / 1,6 = - 0,64 m/s^2; (in verso contrario);

La forza F agisce ugualmente sui due carrellini.

Sul secondo di massa M2 = 1,2 kg:

F = M2 * a2 = 1,2 * 1,02 = 1,22 N; (questa forza agisce anche sul primo carrellino); 

F = M1 * a1 = 1,9 * (- 0,64) = - 1,22 N, (in verso contrario).

S1 = 1/2 * a1 * t^2;

S1 = 1/2 * (- 0,64) * 1,6^2 = - 0,82 m; (Spazio percorso, in verso contrario dal primo carrellino).

F = k * x;

x = F / k = 1,22 / 270 = 4,5 * 10^-3 m;

x = 4,5 mm; (compressione della molla). 

Ciao @harrypotter