[Risolto] fisica

Ciao.

Tempo fa abbiamo risposto ad una domanda estremamente simile alla tua. Vedi:

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/gara-di-capodanno/#post-38075

In questo caso:

Il problema si compone di due parti:

moto uniformemente accelerato e moto uniformemente decelerato.

Prima parte:

{x = 1/2·a·t^2

{v = a·t

con a=5 m/s^2 si ottiene:

{ x = 5·t^2/2

{ v = 5·t

Fino ad arrivare ad una certa distanza dalla partenza x<100 m in un tempo t = α

In questo istante la moto ha percorso tale distanza arrivando alla velocità massima:

{x = 5·α^2/2

{v = 5·α 

La seconda parte del problema consta delle seguenti equazioni orarie:

{x = 5·α^2/2 + 5·α·Τ - 1/2·10·Τ^2

{v = 5·α - 10·Τ

in cui abbiamo azzerato i cronometri e quindi abbiamo fatto riferimento al tempo di frenata T che è dato da:

0 < Τ ≤ β

Adesso si impongono le condizioni terminali:

{100 = 5·α^2/2 + 5·α·β - 1/2·10·β^2

{0 = 5·α - 10·β

Sistema che risolviamo nelle incognite α e β , con la sostituzione:

β = 1·α/2

100= 5·α^2/2 + 5·α·(1·α/2) - 1/2·10·(1·α/2)^2-----> 100 = 15·α^2/4

quindi: α = - 4·√15/3 ∨ α = 4·√15/3

β =1·α/2-------> β = 2·√15/3  

Tempo complessivo: t = α + β----> t = 2·√15 s

 t = 7.746  s

La distanza percorsa dall’auto per arrivare alla velocità max è:

x = 5·(4·√15/3)^2/2------> x = 66.67 m

La velocità finale max è quindi: v = 5·(4·√15/3) = 25.82 m/s=25.82·3.6 = 92.95 km/h

Buonasera, qualcuno gentilmente mi potrebbe aiutare a questo problema: un’automobile ha un’accelerazione massima a = 5 m/s2 ed una decelerazione massima (in frenata) pari a 2a. Determinare il tempo minimo T necessario all’automobile per percorrere un tratto di strada di lunghezza L=100 m partendo da ferma ed arrivando in x = L con velocità nulla.
Suggerimento: Il moto dell’automobile può essere scomposto in due parti: la prima da t = 0 a t = t1 in
cui l’automobile accelera uniformemente e la seconda (da t = t1 a t = T) in cui l’automobile in frenata
decelera uniformemente. Grazie

se le accelerazione sono nel rapporto 2a/a = 2, i rispettivi tempi t' e t sono nel rapporto 1/2 tal che a*t = 2a*t' (a*t = 2a*t' essendo la velocità massima raggiunta a fine accelerazione ed inizio frenata)

100 = 5/2*t^2 + 10/2*(t/2)^2

100 - 2,5t -5*t^2/4 = 0

100 = 3,75 t^2 

t1 = √100/3,75 = 5,164 sec 

t2 = t1/2 = 2,582 sec 

t = t1+t2 = 7,746 sec 

Per minimizzare il tempo le accelerazioni devono essere ai valori massimi.
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In fase d'accelerazione si ha
* s(t) = (a/2)*t^2
* v(t) = a*t
fino all'istante t = x quando, con a = 5, si ha
* s(x) = (5/2)*x^2 = S
* v(x) = 5*x = V
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Nella successiva fase di frenata si ha
* s(t) = S + (V - (a/2)*(t - x))*(t - x)
* v(t) = V - a*(t - x)
fino all'istante t = T quando, con a = 10 e (S, V) come sopra, si ha
* s(T) = (5/2)*x^2 + (5*x - (10/2)*(T - x))*(T - x) =
= (5/2)*(6*T*x - 3*x^2 - 2*T^2) = 100
* v(T) = 5*x - 10*(T - x) = 5*(3*x - 2*T) = 0
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Dal sistema
* (3*x - 2*T = 0) & ((5/2)*(6*T*x - 3*x^2 - 2*T^2) = 100) & (0 < x < T)
si ha
(x = 4*√(5/3) ~= 5.164 s) & (T = 2*√15 ~= 7.746 s)

fai il sistema
a1 s1 = a2 s2
s1 + s2 = s
dove la prima eq. e' l'uguaglianza dei lavori gia' semplificata per m

poi metti i valori:
5 * s1 = 2*5 * s2
s1 + s2 = 100

s1 = 66.6

s2 = 33.3

ottenuti gli spazi s1 e s2 calcoli il tempo min. col sistema
t = t1 + t2
s1 = (1/2) a1 t1^2
s2 = (1/2) a2 t2^2

con i valori:
t = t1 + t2
66.6 = (1/2) 5 t1^2
33.3 = (1/2) 2*5 t2^2

(t=7.742092740337, t_1=5.1613951602248, t_2=2.5806975801122)