[Risolto] FISICA

Un giocatore di golf colpisce una pallina con velocità iniziale di 30,0 m/s e un angolo di 50,0° sopra l’orizzontale. La pallina atterra su un prato che è 5,00 al di sopra del livello di quello dove era stata battuta.

a) Per quanto tempo resta in aria la pallina?

b) Quali sono il modulo e la direzione della velocità della pallina un istante prima dell’atterraggio?

c) Quale distanza ha percorso la pallina in direzione orizzontale quando atterra?

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Calcola le componenti, orizzontale e verticale, della velocità iniziale:

$v_{0x}= v_0×cos(\alpha) = 30×cos(50°)\approx{19,28}\,m/s;$

$v_{0y}= v_0×sen(\alpha) = 30×sen(50°)\approx{22,98}\,m/s;$

altezza massima $h_{max} = \dfrac{(v_{0y})^2}{2×g} = \dfrac{22,98^2}{2×g}\approx{26,92}\,m;\;^{(1)}$

altezza di caduta $h_2 = h_{max}-5 = 26,92-5 = 21,92\,m;$

a) tempo di volo $t_{tot}= t_1+t_2 = \sqrt{2×\dfrac{26,98}{g}}+\sqrt{2×\dfrac{21,98}{g}} = 2,343+2,114 \approx{4,46}\,s.$

Componente verticale della velocità di caduta:

$v_{1y} = \sqrt{2×g×h} = \sqrt{2×g×21,92} \approx{20,73}\,m/s;$

velocità di caduta $v_1 = \sqrt{(v_{0x})^2+(v_{1y})^2} = \sqrt{19,28^2+20,73^2}\approx{28,31}\,m/s;$

b) angolo di caduta $\alpha_1= \tan^{-1}\left(\dfrac{20,73}{19,28}\right)\approx{47,1°}$ (rispetto all'orizzontale)$\;^{(2)}.$

c)  Distanza in direzione orizzontale (gittata):

$L= v_{0x}×t_1+v_{0x}×t_2$

$L= v_{0x}(t_1+t_2)$

$L= 19,28(t_{tot})$

$L= 19,28×4,46\approx{86}\,m.$

Note:

- $(1)\; g=$  accelerazione di gravità $= 9,80665\,m/s^2.$

- $(2)\; \tan^{-1}=$  arcotangente.

vox = 30,0 * cos50,0° = 30,0 * 0,643 = 19,3 m/s;

questa componente orizzontale resta costante per tutto il tempo di volo, il moto orizzontale è uniforme.

voy = 30,0 * sen50,0° = 30,0 * 0,766 = 23 m/s; velocità iniziale verticale;

vy = - 9,8 * t + voy; legge della velocità verticale con accelerazione g = - 9,8 m/s^2.

la pallina sale, l'accelerazione di gravità la decelera, raggiunge il punto più alto quando vy = 0 m/s;

- 9,8 * t + 23 = 0;

t = 23 / 9,8 = 2,35 s; tempo di salita per raggiungere il punto più alto.

y = 1/2 g t^2 + voy * t; legge del moto accelerato in verticale;

y max = 1/2 * (- 9,8) * 2,35^2 + 23 * 2,35;

y max = - 27 + 54 = 27 m; (altezza massima raggiunta).

Scende e cade ad altezza y = 5,00 m,

La pallina parte da ferma (vy = 0 m/s nel punto più alto) da altezza yo = 27 m; troviamo il tempo per scendere fino a y = 5,00 m;

y = 1/2 g t^2 + yo;

5,00 = 1/2 * (- 9,8) * t^2 + 27;

5,00 - 27 = - 4,9 t^2;

- 22 = - 4,9 t^2,

t = radicequadrata(22 / 4,9) = radice(4,49) = 2,12 s, tempo di discesa;

tempo di volo = 2,35 + 2,12 = 4,47 s;  tempo in cui la pallina resta in aria;

velocità verticale finale quando atterra dopo 4,47 s:

vy = - 9,8 * t + voy = - 9,8 * 4,47 + 23 = - 20,8 m/s; rivolta verso il basso;

vx = vox = 19,3 m/s;

v finale = radice(20,8^2 + 19,3^2)  = 28,4 m/s, modulo della velocità finale;

angolo di direzione rispetto all'orizzontale:

tan(angolo) = vy / vx = - 20,8 / 19,3 = - 1,078;

angolo = arctan(- 1,078) = - 47,1°, (angolo sotto l'orizzontale);

x = vx * t;

distanza orizzontale = 19,3 * 4,47 = 86,3 m.

ciao @alby