[Risolto] Fisica

vo = 80 km/h = 80 000 m /3600 s = 80 / 3,6 = 22,2 m/s

vox = vo cos45° = 22,2 * 0,707 = 15,7 m/s;

voy = vo sen45° = 22,2 * 0,707 = 15,7 m/s;

le componenti sono uguali perché seno e coseno di 45° valgono uguale, 0,707.

gittata = x massimo; si ottiene con il tempo di volo.

x = vox * t;

y = 1/2 g t^2 + voy * t;

g = - 9,8 m/s^2;

vox = voy = 15,7 m/s

Se poniamo y = 0 m, vuol dire che il pallone ha percorso tutta la traiettoria ed è tornato a terra.

1/2 * (-9,8) * t^2 + 15,7 * t = 0;

- 4,9 * t^2 + 15,7 * t = 0;

4,9 t^2 - 15,7 t = 0;

t (4,9 t - 15,7) = 0;

due soluzioni:

t1 = 0 s; tempo iniziale del lancio, il pallone è a terra;

t2 = 15,7 / 4,9) = 3,2 s, (tempo di volo, il pallone arriva a terra);

(t volo = - 2 voy / g)

gittata = 15,7 * 3,2 = 50,3 m (circa).

La formula risolutiva, a memoria é:

x max = vox * (- 2 voy / g);

x max = - 2 vox * voy / (- 9,8) = vox * voy / 4,9,

x max = 15,7 * 15,7 / 4,9 = 50,3 m.

Ciao @cal

Un calciatore imprime una velocità di 80 km/h al pallone. Se lo lancia a 45° quale sarà la sua gittata? [50 m]

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Velocità iniziale $v_0= \dfrac{80}{3,6} ≅ 22,222~m/s$;

senza considerare attrito dell'aria:

gittata con angolo a 45° $L= \dfrac{(v_0)^2}{g} = \dfrac{22,222^2}{g} ≅ 50,355~m$;

$g= 9,80665~m/s^2$.

Il pallone da calcio standard deve avere: forma sferica con circonferenza compresa tra 68 cm e 70 cm, massa compresa tra 410 g e 450 g, pressione interna compresa tra 0,6 atm e 1,1 atm; ed essere ricoperto da cuoio o altro materiale idoneo.
Con valori circa pari a
* cerchio massimo A = 1/25 m^2
* massa m = 43/100 kg
* densità d = 77.5 kg/m^3
il pallone medio risulta troppo grande e leggero per poterlo assimilare a un punto materiale.
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In Atmosfera Standard ICAO, con un flusso d'aria a 80 km/h, avrebbe numero di Reynolds >> 1 e quindi è presumibile che si muova in regime turbolento anche in aria non standard; pertanto ha alta dissipazione per attrito viscoso, modellabile con una forza vettorialmente opposta alla velocità e di modulo
* F(t) = k*v(t)
dove
* k = ρ*A*C/2 = impedenza meccanica
* ρ = 1.225 kg/m^3 = densità dell'aria standard
* A = 0.0038 m^2 = cerchio massimo
* C = 0.47 = coefficiente di resistenza della forma sferica
quindi
* k = ρ*A*C/2 = 43757/40000000 = 0.001093925 ~= 1/100 kg/s
* a(t) = (k/m)*v(t) = v(t)/43 m/s^2
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Con
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
* m = 430 g = 43/100 kg
* V = 80 km/h = 200/9 m/s
* θ = 45°
* F(t) = v(t)/100
si ha
* F(0) = m*a(0) = 2/9 N
* a(0) = 200/387 m/s^2
* a(0)*cos(θ) ~= 463/1267 ~= 0.365 m/s^2 ~= 3.73% di 'g'
forse trascurabile nell'analisi del moto verticale, considerandolo un MRUA con grossolana approssimazione; ma di certo non nel moto orizzontale che deve tenerne conto.
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CONCLUSIONE: il banale testo "Un calciatore imprime una velocità di 80 km/h al pallone. Se lo lancia a 45° quale sarà la sua gittata?" evoca la risposta «Certamente un bel po' di meno dei cinquanta metri che quel truffatore dell'autore ha calcolato come se il pallone fosse un punto materiale.».

se e solo se la quota di lancio coincide con quella di arrivo, vale la relazione : 

range R = Vo^2/g*sen (2*Θ) = 80^2/(3,6^2*9,806)*1 = 50,36 m