Due forze hanno lo stesso modulo $F$, formano tra loro un angolo $\alpha<90^{\circ}$ e sono applicate allo stesso punto. Il modulo della risultante è:
A $F^2 \cdot \cos (\alpha)$
(D) $2 \cdot F \cdot \sin (\alpha)$
B $F^2 \cdot \sin (\alpha)$
E $2 \cdot F \cdot \sin (\alpha / 2)$
C $2 \cdot F \cdot \cos (\alpha / 2)$
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Livello 1
@gabriele3076 ...se non capisci ora c'è di che preoccuparsi 😉
F1 = F cos a/2 i + F sin a/2 j
F2 = F cos (-a/2) i + F sin (-a/2) j
Sommando
FR = F1 + F2 = F ( cos (a/2) + cos (a/2) ) i + F ( sin (a/2) - sin (a/2) ) j =
= 2 F cos (a/2) i
e poiché a < 90° => a/2 < 45° => cos (a/2) > 0
FR = 2 F cos a/2
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Livello 7
Sì, il parallelogramma usuale é un rombo.
Quindi la Forza risultante sara' uguale alla diagonale maggiore, come in formula sul foglio o mi sbaglio? Mi dispiace rubarti cosi' tanto tempo gratuitamente, ma non mi arrendo dal momento che non capisco come facciate a giungere al risultato.
Formule di bisezione
Essendo a<90° il cos(a/2) restituisce un valore positivo
Teorema del coseno:
cos(180-a) = - cos (a)
R= radice [F²+F²-2F*F*cos(180-a)] = radice [2F²(1+cos(a)] = 2F*cos(a/2)
Puoi arrivare allo stesso risultato scegliendo un sistema di riferimento ortogonale in cui l'asse orizzontale coincide con il primo vettore e scrivendo le componenti cartesiane dei due vettori
F1= (F;0)
F2=(F*cos a ; F*sin a)
Quindi la risultante ha componenti cartesiane:
F_risultante = (F+Fcos a ; F*sin a)
Teorema di Pitagora e trovi il modulo del vettore F_risultante
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Genius II
@stefanopescetto Stefano, non riesco a seguire il ragionamento; gia' a partire dal "Essendo a<90° il cos(a/2) restituisce un valore positivo" non capisco cosa tu voglia dire, non e' che potresti spiegarmelo dando meno per scontato che io sia preparato in materia gentilmente?
Cos(a) >0 se a è acuto
A maggior ragione a/2 è acuto. Cos(a/2)>0 = + radice (....)
Questo e' quello che ho messo per iscritto per iniziare a visualizzarlo, e' corretto?
Modo semplicissimo:
F ris = F cos(alfa/2) + F cos(alfa/2) = 2 * F cos(alfa/2).
Ciao @gabriele3076
F risultante = radice quadrata(F^2 + F^2 + 2 * F * F * cosα);
Angolo α compreso fra F1 ed F2.
F ris = radice(2 F^2 + 2 F^2 * cosα) =
= radice[2 F^2 * (1 + cosα)]; moltiplichiamo per 2 sotto radice:
F ris = radice[4 F^2 * (1 + cosα) / 2]; (portiamo fuori dal segno di radice 4 F^2);
F risultante = 2 F * radicequadrata[(1 + cosα) / 2];
ricordando la formula di bisezione:
cos(α/2) = radicequadrata[(1 + cosα)/2], otteniamo:
F ris = 2 F * cos(α/2).
Risposta C.
Ciao @gabriele3076
Non conosci Il teorema di Carnot? E' come Pitagora quando l'angolo è 90°, ma se l'angolo è diverso da 90° c'è questo termine che è il doppio prodotto dei due vettori per il coseno dell'angolo. Guarda la figura.
ciao @gabriele3076
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Genius II
@mg Perche' "+ 2 * F * F * cosα" e' in formula?
Non conosci Il teorema di Carnot? E' come Pitagora quando l'angolo è 90°, ma se l'angolo è diverso da 90° c'è questo termine che è il doppio prodotto dei due vettori per il coseno dell'angolo. Guarda la figura.
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Genius II
Fatti il disegno e vedi di che si tratta.
Traccia un cerchio e attraversalo con una retta diametrale orizzontale.
Traccia due raggi dal centro verso destra, simmetrici rispetto alla retta e che formino un angolo acuto; tracciaci su una freccina dove toccano la circonferenza: quelli sono i due vettori (forze F).
Completa il parallelogramma delle forze che, per l'eguaglianza dei lati, è un rombo e quindi ha diagonali ortogonali che devi tracciare.
La diagonale maggiore, sulla retta orizzontale, è la somma dei vettori.
La diagonale minore, corda della circonferenza, è la differenza dei vettori.
Se hai fatto un disegno accurato, e se fingi che il raggio sia uno e non F, dovresti riconoscere la circonferenza goniometrica e, in essa, che la metà della corda è il seno della metà dell'angolo al centro e che la distanza dal centro (metà del modulo della risultante, quello richiesto) ne è il coseno.
Con i nomi
* m = modulo della risultante
* c = lunghezza della corda (modulo della differenza dei vettori)
* d = distanza della corda dal centro (metà del modulo della risultante)
* α = angolo al centro
quanto sopra si scrive
* c/2 = sin(α/2)
* d = cos(α/2)
* m = 2*d = 2*cos(α/2)
aggiungendo
* F = raggio del cerchio
si ha
* m = 2*F*cos(α/2) <==== opzione C
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Genius I
