Scrivi l'equazione del fascio generato dalle parabole dl equazionl $y=x^2-3 x$ e $y=-x^2-x+\frac{3}{2}$. Descrivi le caratteristiche delle parabole del fasclo e determina l'equazione della purabola del fasclo langente all'asse $x$.
non esiste alcumu pirabula del fascion tangente all'asse $x$ ]
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Livello 2
Problema:
Scrivi l'equazione del fascio generato dalle parabole di equazione $y=x²-3x$ e $y=-x²-x+\frac{3}{2}$. Descrivi le caratteristiche delle parabole del fascio e determina l'equazione della parabola del fascio tangente all'asse x.
Soluzione:
Il fascio di parabole può essere espresso, ricrivendo in forma implicita le equazioni delle parabole, come: $Φ_γ : y-x²+3x+k(y+x²+x-\frac{3}{2})=0$. Esso presenta i punti base $A(-\frac{1}{2}, \frac{7}{4})$ e $B(\frac{3}{2}, -\frac{9}{4})$ ed è composto da parabole secanti tra loro.
Per determinare la parabola del fascio tangente all'asse x è necessario impostare il seguente sistema e trovare k tramite la condizione di tangenza che prevede il discriminante nullo:
{y=0, $y-x²+3x+k(y+x²+x-\frac{3}{2})=0$} $\rightarrow$ $∆=(k+3)²-4(k-1)(-\frac{3k}{2})=9+7k²=0$ $\rightarrow$ $k²=-\frac{9}{7}$.
Poiché un numero reale al quadrato è sempre nullo o positivo, non esiste alcun valore di k per cui una parabola del fascio risulta tangente all'asse delle ascisse.
L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.
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Livello 4
