Scrivi l'equazione del fascio generato dalle parabole di equazioni $x=y^2-1$ e $x=2 y^2-y$. Descrivi le caratteristiche del fascio e determina l'equazione della parabola del fascio passante per il punto $P(2,1)$.
Scrivi l'equazione del fascio generato dalle parabole di equazioni $x=y^2-1$ e $x=2 y^2-y$. Descrivi le caratteristiche del fascio e determina l'equazione della parabola del fascio passante per il punto $P(2,1)$.
3360
punti
Livello 2
a. Equazione del fascio
$ Γ(k): x = y^2-1 + k(2y^2-y)$
Le due parabole non sono congruenti, infatti i due termini |a| sono diversi tra loro.
$ x = y^2-1 \quad \implies \quad |a| = 1$
$ x = 2y^2-y \quad \implies \quad |a| = 2$.
Il sistema composto dalle due equazioni può essere risolto per confronto, si ha così
$y^2-1 = 2y^2-y$
$ y^2-y+1 = 0$ che non ammette soluzioni, il suo discriminante risulta negativo (Δ = -3)
Non ci sono punti base.
c. Parabola del fascio passante per P(2, 1)
dall' equazione del fascio x = y^2-1 + k(2y^2-y) introducendo le coordinate di P(2, 1) possiamo determinare il valore di k che la rende vera.
2 = 1 - 1 +k(2-1) ⇒ k = 2
La parabola del fascio è così
$ Γ(2): x = y^2-1 +2(2y^2-y)$
$x = 5y^2-2y-1$
9771
punti
Livello 3