Scrivi l'equazione del fascio generato dalle parabole di equazioni $y=x^2+6 x-9$ e $y=2 x^2$. Descrivi le caratteristiche delle parabole del fascio e determina l'equazione della parabola del fascio che ha come asse la retta di equazione $x=1$.
[Fascio di parabole tangenti nel punto di coordinate (3, 18); la parabola richiesta ha equazione $y=3 x^2-6 x+9$ ]
2120
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Livello 2
Equazioni dell'asse Γ(k)
$Γ(k): x^2+6x-9-y + k(2x^2-y) = 0 \quad ≡ \quad (1+2k)x^2+6x-9-(1+k)y = 0$
$\left\{\begin{aligned} y &= x^2+6x-9 \\ y &= 2x^2 \end{aligned} \right. $
La cui unica soluzione (quindi punto di tangenza) è x = 3 & y = 18
T(3, 18)
a. Asse di simmetria della generica parabola del fascio.
L'asse di simmetria delle parabole del fascio è parallelo all'asse delle y. (eq. del tipo $y=ax^2+bx+c$)
Asse di simmetria di una generica parabola.
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac {6}{2(1+2k)}$
Imponiamo che sia x = 1
$ 1 = -\frac {3}{1+2k}$
k = - 2
Sostituiamola nell'equazione del fascio Γ(k)
$-3x^2 + 6x -9 + y = 0$
$ y = 3x^2 -6x + 9$
5902
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Livello 2
