[Risolto] FASCIO GENERATO DA DUE PARABOLE.

a. 

• Equazione del fascio Γ(k)

$ Γ(k): y - x^2-2x+8 +k(y-2x^2 +2x+4) = 0 $ ovvero

$ Γ(k): (1+k)y + (-2k-1)x^2+(2k-2)x+8 +4k = 0 $

• Punti base

risolviamo il sistema composto dalle due parabole

$\left\{\begin{aligned} y &= x^2-2x+8 \\ y &= 2x^2 -2x-4 \end{aligned} \right. $

Il sistema ammette una unica soluzione, con molteplicità 2, quindi ammette un punto di tangenza T(2,0).

b.  Equazione della parabola passante per l'origine degli assi. O(0, 0)

Introduciamo le coordinate e determiniamo il valore di k che la rende vera

$ Γ(k): (1+k)0 + (-2k-1)0^2+(2k-2)0+8 +4k = 0 $

$ Γ(k): 8 + 4k \quad \implies \quad k = -2$

per cui

$ Γ(-2): -y + 3x^2 -6x = 0  $

La parabola cercata è così

$y = 3x^2-6x$

Equazione del fascio
Ogni combinazione lineare non banale, cioè con (|a| + |b| > 0), delle date generatrici
* Γ1 ≡ y = x^2 + 2*x - 8 ≡ x^2 + 2*x - 8 - y = 0
* Γ2 ≡ y = 2*x^2 - 2*x - 4 ≡ 2*x^2 - 2*x - 4 - y = 0
è una possibile equazione del loro fascio
* Γ(a, b) ≡ a*(x^2 + 2*x - 8 - y) + b*(2*x^2 - 2*x - 4 - y) = 0 ≡
≡ (a + 2*b)*x^2 + 2*(a - b)*x - (a + b)*y - 4*(2*a + b) = 0 ≡
≡ y = ((a + 2*b)/(a + b))*x^2 + 2*((a - b)/(a + b))*x - 4*(2*a + b)/(a + b)
NOTE
Per a = - b si ha la retta x = 2.
Per a = - 2*b si ha la retta y = 6*(x - 2).
Conviene escludere questi casi particolari dall'esame generale aggiungendo alla condizione di non banalità anche la
* (a + b != 0) & (a + 2*b != 0)
Parabola per l'origine
Il vincolo d'appartenenza dell'origine
* (0 = - 4*(2*a + b)/(a + b)) & (a + b != 0) & (|a| + |b| > 0) ≡ a = - b/2
dà
* Γ(- b/2, b) ≡ y = ((- b/2 + 2*b)/(- b/2 + b))*x^2 + 2*((- b/2 - b)/(- b/2 + b))*x - 4*(- b + b)/(- b/2 + b) ≡
≡ y = 3*(x^2 - 2*x) ≡
≡ y = 3*(x - 1)^2 - 3
Caratteristiche delle parabole del fascio (con a = k*b, k ∉ {- 2, - 1})
Sostituendo e sviluppando si ha
* Γ(k) ≡ y = ((k + 2)/(k + 1))*x^2 + 2*((k - 1)/(k + 1))*x - 4*(2*k + 1)/(k + 1) ≡
≡ y = ((k + 2)/(k + 1))*(x^2 + 2*((k - 1)/(k + 2))*x - 4*(2*k + 1)/(k + 2)) ≡
≡ y = ((k + 2)/(k + 1))*(x + (k - 1)/(k + 2))^2 - 9*(k + 1)/(k + 2)
da cui
* apertura a = (k + 2)/(k + 1)
* vertice V(- (k - 1)/(k + 2), - 9*(k + 1)/(k + 2))
* asse di simmetria x = - (k - 1)/(k + 2)
* luogo dei vertici y = 3*(x - 2)
Inoltre, ma non richiesta, una caratteristica del fascio e non delle singole parabole (il risultato atteso!)
La risolvente del sistema fra le date generatrici
* x^2 + 2*x - 8 = 2*x^2 - 2*x - 4 ≡
≡ (x - 2)^2 = 0
avendo discriminante nullo individua un punto base doppio B(2, 0) che, in quanto tale, è di tangenza per ogni parabola del fascio.
Tale riconoscimento è dato come risultato atteso, pur non essendo stato richiesto!