Fascio di rette

x - y + 2 = 0

x + y = 0

quindi: 

{x - y + 2 + k·(x + y) = 0

{y = 0

Risolvo ed ottengo: [x = - 2/(k + 1) ∧ y = 0]

{x - y + 2 + k·(x + y) = 0

{x = 0

Risolvo ed ottengo: [x = 0 ∧ y = 2/(1 - k)]

deve essere:

1/2·ABS(- 2/(k + 1))·ABS(2/(1 - k)) = 2

ossia:

2/ABS((k + 1)·(k - 1)) = 2

ABS((k + 1)·(k - 1)) = 1

(k + 1)·(k - 1) = 1 ∨ (k + 1)·(k - 1) = -1

Quindi la soluzione: [k = - √2 ∨ k = √2 ∨ k = 0]

Per le rette sostituisci i valori di k trovati.

Nel fascio proprio di centro C
* (x - y + 2 = 0) & (x + y = 0) ≡ C(- 1, 1)
le rette che possono formare triangolo con con gli assi coordinati non comprendono né x = - 1 né y = 1, ma solo le
* r(m) ≡ y = 1 + m*(x + 1), con m != 0
che intersecano gli assi in (- (1 + 1/m), 0) e (0, m + 1); quindi l'area S del triangolo, semiprodotto dei cateti, risulta
* S(m) = |- (1 + 1/m)|*|m + 1|/2 = (m + 1)^2/(2*|m|)
Il risultato richiesto si ricava dalla soluzione dell'equazione
* S(m) = 2 ≡
≡ (m + 1)^2/(2*|m|) = 2 ≡
≡ |m| = (m + 1)^2/4 ≡
≡ ((m + 1)^2/4 = - m) oppure ((m + 1)^2/4 = m) ≡
≡ (m = - 3 - 2*√2) oppure (m = - 3 + 2*√2) oppure (m = 1)
da cui
* r(- 3 - 2*√2) ≡ y = 1 + (- 3 - 2*√2)*(x + 1) ≡ y = - (2*√2 + 3)*x - 2*(√2 + 1)
* r(- 3 + 2*√2) ≡ y = 1 + (- 3 + 2*√2)*(x + 1) ≡ y = + (2*√2 - 3)*x + 2*(√2 - 1)
* r(1) ≡ y = 1 + (x + 1) ≡ y = x + 2
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D-%282*%E2%88%9A2--3%29*x-2*%28%E2%88%9A2--1%29%2Cy%3D%282*%E2%88%9A2+-+3%29*x--2*%28%E2%88%9A2-1%29%2Cy-2%3Dx%5D