[Risolto] Fascio di rette

{x - y + 2 + k·(x + y) = 0

{y = 0

risolvo: [x = - 2/(k + 1) ∧ y = 0]

{x - y + 2 + k·(x + y) = 0

{x = 0

risolvo: [x = 0 ∧ y = 2/(1 - k)]

Deve essere: Α = 1/2·ABS(- 2/(k + 1))·ABS(2/(1 - k))

Α = 2/ABS((k + 1)·(k - 1))

quindi: ABS((k + 1)·(k - 1)) = 1

ABS(k^2 - 1) = 1---->  k^2 - 1 = 1 ∨ k^2 - 1 = -1

k = - √2 ∨ k = √2 ∨ k = 0

k = - √2:

x - y + 2 + (- √2)·(x + y) = 0

x·(√2 - 1) + y·(√2 + 1) = 2

y = x·(2·√2 - 3) + 2·√2 - 2

k = √2:

x - y + 2 + √2·(x + y) = 0

x·(√2 + 1) + y·(√2 - 1) + 2 = 0

y = - x·(2·√2 + 3) - 2·√2 - 2

k = 0:

x - y + 2 = 0---> y = x + 2

Spiegazione del problema
Si chiede di determinare le rette che formano con gli assi cartesiani, implicitamente supposti ortogonali e monometrici, un triangolo di area due; vale a dire rette della forma
* x/a + y/b = 1
tali che
* |a|*|b| = 4
in quanto |a| e |b| sono i cateti dei triangoli rettangoli formati con gli assi.
Oltre al vincolo sull'area dei triangoli ce n'è un altro: esse devono essere elementi del fascio generato dalle
* g1 ≡ x - y + 2 = 0 ≡ y = x + 2, di pendenza uno
* g2 ≡ x + y = 0 ≡ y = - x, di pendenza meno uno
quindi, avendo le generatrici pendenze diverse, si tratta di un fascio proprio centrato sul loro incrocio C
* (y = x + 2) & (y = - x) ≡ C(- 1, 1)
NB: non è richiesta l'equazione del fascio.
Risoluzione
Il vincolo d'appartenenza di C(- 1, 1) a x/a + y/b = 1 è
* - 1/a + 1/b = 1
pertanto
* (|a|*|b| = 4) & (- 1/a + 1/b = 1) ≡
≡ (a, b) ∈ {(- 2, 2), (- 2*(√2 - 1), - 2*(√2 + 1)), (2*(√2 + 1), 2*(√2 - 1))}