[Risolto] fascio di parabole

Considerazioni sul fascio di parabole
* Γ(k) ≡ y = k*x^2 - (2*k - 1)*x - (3*k + 2)
che presenta tre casi particolari:
* Γ(- 2/3) ≡ y = (7 - 2*x)*x/3, parabola per l'origine;
* Γ(0) ≡ y = x - 2, parabola degenere;
* Γ(1/2) ≡ y = (x^2 - 7)/2, parabola con asse di simmetria l'asse y.
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Il loro sistema
* (y = (7 - 2*x)*x/3) & (y = x - 2) & (y = (x^2 - 7)/2) ≡
≡ P(- 1, - 3) oppure Q(3, 1)
determina i punti base, estremi della corda di cui al quesito d.
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Dal sottinsieme delle parabole non degeneri (k != 0), scritto in varie forme,
* Γ(k) ≡ y = k*(x^2 - (2 - 1/k)*x - (3 + 2/k)) ≡
≡ y = k*(x - ((2*k - 1) - √(16*k^2 + 4*k + 1))/(2*k))*(x - ((2*k - 1) + √(16*k^2 + 4*k + 1))/(2*k)) ≡
≡ y = k*(x - (2 - 1/k)/2)^2 - (16*k^2 + 4*k + 1)/(4*k)
si ricavano altre proprietà caratteristiche.
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* asse di simmetria: x = (2 - 1/k)/2
* apertura: a = k
* vertice: V((2 - 1/k)/2, - (16*k^2 + 4*k + 1)/(4*k))
* fuoco: F((2 - 1/k)/2, - (4*k + 1)), perché F(xV, yV + 1/(4*a))
* direttrice: d ≡ y = - (8*k^2 + 2*k + 1)/(2*k), perché d ≡ y = yV - 1/(4*a)
* zeri: ((2*k - 1) ± √(16*k^2 + 4*k + 1))/(2*k)
reali e distinti ∀ k ∈ R in quanto
** Δ(k) = 16*k^2 + 4*k + 1 = 16*(k + 1/8)^2 + 3/4 >= Δ(- 1/8) = 3/4
* luogo dei vertici: x^2 - 2*x*y - 4*x + 2*y + 7 = 0
iperbole con asintoti e centro (x = 1) & (y = (x - 3)/2) ≡ C(1, - 1)
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Risposte ai quesiti
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a1) Studia le caratteristiche del fascio ...: vedi sopra.
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a2) ... e determina i punti base: P(- 1, - 3), Q(3, 1)
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b) Determina l'equazione della retta r contenuta nel fascio.
* r ≡ Γ(0) ≡ y = x - 2, parabola degenere
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c) Determina la parabola γ del fascio avente come asse di simmetria la retta di equazione x = 3/4
* asse di simmetria: x = (2 - 1/k)/2 = 3/4 ≡ k = 2
* Γ(2) ≡ y = 2*x^2 - 3*x - 8
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d) Determina l'area S del segmento parabolico limitato dalla parabola γ e dalla retta r
* S = |a|*(|xQ - xP|)^3/6 = |2|*(|3 - (- 1)|)^3/6 = 64/3

y = kx + (1 - 2k)x - 2 - 3k

Non mi sembra un fascio di parabole