Mi aiutate gentilmente con il seguente esercizio? Grazie mille in anticipo.
Considera il fascio di parabole di equazione: y=x^2-2(k-3)x+1 e determina gli eventuali punti base del fascio. Stabilisci quindi per quali valori di k la corrispondente parabola del fascio:
a. Ha lo stesso asse di simmetria della parabola di equazione y=2x^2-6x+1;
b. Ha il vertice sulla retta y=x+1;
c. Individua sull’asse x un segmento di misura = a 4.
R(p.b.(0,1)); a)k=9/2; b)k=2 e k=3; c) k=+/-radice di 5)
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Livello 2
Dall'equazione del fascio nelle sue varie forme equivalenti
* Γ(k) ≡ y = x^2 - 2*(k - 3)*x + 1 ≡
≡ y = (x - (k - 3 - √((k - 2)*(k - 4))))*(x - (k - 3 + √((k - 2)*(k - 4)))) ≡
≡ y = (x - (k - 3))^2 - (k - 3)^2 + 1
si leggono
1) gli zeri x = k - 3 ± √((k - 2)*(k - 4)), distanti d(k) = 2*√((k - 2)*(k - 4));
2) i vertici V(k - 3, 1 - (k - 3)^2);
e, eliminando il parametro, si ricava il luogo dei vertici y = 1 - x^2.
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Gli eventuali punti base sono le soluzioni reali del sistema fra due parabole qualsiasi
* Γ(0) & Γ(3) ≡ (y = x^2 + 6*x + 1) & (y = x^2 + 1) ≡ B(0, 1)
quindi uno ce n'è, ma è solo.
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Risposte ai quesiti
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a) y = 2*x^2 - 6*x + 1 = 2*(x^2 - 3*x + 1/2) = 2*(x - 3/2)^2 - 7/2 → V(3/2, - 7/2)
* k - 3 = 3/2 ≡ k = 9/2
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b) Vertice V(k - 3, 1 - (k - 3)^2) sulla y = x + 1 vuol dire
* 1 - (k - 3)^2 = k - 3 + 1 ≡
≡ k^2 - 5*k + 6 = 0 ≡
≡ (k = 2) oppure (k = 3)
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c) d(k) = 2*√((k - 2)*(k - 4)) = 4 ≡
≡ (k - 2)*(k - 4) - 4 = 0 ≡
≡ k^2 - 6*k + 4 = 0 ≡
≡ (k = 3 - √5) oppure (k = 3 + √5)
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