[Risolto] fascio di parabole

Manipolando un po' l'equazione del fascio
* Γ(k) ≡ y = - x^2 + 2*(k - 1)*x - k ≡
≡ y = - (x^2 - 2*(k - 1)*x + k) ≡
≡ y = - ((x - (k - 1))^2 - (k - 1)^2 + k) ≡
≡ y = (k^2 - 3*k + 1) - (x - (k - 1))^2
si ricava la posizione dei vertici
* V((k - 1), (k^2 - 3*k + 1))
che percorrono l'altra parabola
* y = x^2 - x - 1
che vale sette per
* k = (3 ± √33)/2
dando luogo a
* Γ((3 - √33)/2) ≡ y = - x^2 + (1 - √33)*x + (√33 - 3)/2
* Γ((3 + √33)/2) ≡ y = - x^2 + (1 + √33)*x - (√33 + 3)/2
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D7%2Cy%3D-x%5E2--%281-%E2%88%9A33%29*x--%28%E2%88%9A33-3%29%2F2%2Cy%3D-x%5E2--%281--%E2%88%9A33%29*x-%28%E2%88%9A33--3%29%2F2%5Dx%3D-9to9
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La retta y = x, bisettrice del I e III quadrante, messa a sistema col fascio
* (y = x) & (y = - x^2 + 2*(k - 1)*x - k)
dà la risolvente
* x - (- x^2 + 2*(k - 1)*x - k) = 0
con discriminante
* Δ(k) = 4*k^2 - 16*k + 9 = 4*(k - (2 - √7/2))*(k - (2 + √7/2))
che, per la tangenza, deve azzerarsi dando luogo a
* Γ(2 - √7/2) ≡ te la semplifichi da te, vero?
* Γ(2 + √7/2) ≡ e anche questa.
Buon compito e in bocca al lupo e *** alla balena!

@studente_disperato

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