Considera il fascio di parabole di equazione $y=k x^2+5 x+k+5$; determina:
a. i punti base e le caratteristiche del fascio;
b. la parabola del fascio passante per l'origine;
c. la parabola del fascio che ha come asse la retta di equazione $x=\frac{15}{2}$;
d. le parabole del fascio che hanno il fuoco sull'asse $x$;
e. le parabole del fascio che individuano sull'asse $x$ un segmento di misura $\sqrt{41}$.
2166
punti
Livello 2
E' l'ultimo?
y = k·x^2 + 5·x + (k + 5)
a = k; b = 5; c = k + 5
Punti base
Riscrivo
k·x^2 + 5·x + (k + 5) - y = 0
k·(x^2 + 1) + 5·x - y + 5 = 0
{x^2 + 1 = 0
{5·x - y + 5 = 0
Sistema impossibile in quanto lo è la prima equazione: nessun punto base
-----------------------------------------
c = 0---> k + 5 = 0---> k = -5
y = (-5)·x^2 + 5·x + (-5 + 5)
y = 5·x - 5·x^2
---------------------------------------
Asse x= 15/2
- b/(2·a) = 15/2
- 5/(2·k) = 15/2---> k = - 1/3
y = (- 1/3)·x^2 + 5·x + (- 1/3 + 5)
y = - x^2/3 + 5·x + 14/3
--------------------------------------
[- b/(2·a), (1 - Δ)/(4·a)] fuoco sull'asse delle x
(1 - Δ)/(4·a) = 0
1 - Δ = 0 con Δ = b^2 - 4·a·c = 25 - 4·k·(k + 5) = - 4·k^2 - 20·k + 25
1 - (- 4·k^2 - 20·k + 25) = 0---> 4·k^2 + 20·k - 24 = 0
k^2 + 5·k - 6 = 0---> (k - 1)·(k + 6) = 0
k = -6 ∨ k = 1
y = (-6)·x^2 + 5·x + (-6 + 5)
y = - 6·x^2 + 5·x - 1
y = 1·x^2 + 5·x + (1 + 5)
y = x^2 + 5·x + 6
------------------------------
k·x^2 + 5·x + (k + 5) = 0
Risolvo ed ottengo:
x = (√(- 4·k^2 - 20·k + 25) - 5)/(2·k)
∨
x = - (√(- 4·k^2 - 20·k + 25) + 5)/(2·k)
Δx = √41
√(- 4·k^2 - 20·k + 25)/k = √41
- (4·k^2 + 20·k - 25)/k^2 = 41
(4·k^2 + 20·k - 25)/k^2 + 41 = 0
(45·k^2 + 20·k - 25)/k^2 = 0
9·k^2 + 4·k - 5 = 0
k = 5/9 ∨ k = -1
y = 5/9·x^2 + 5·x + (5/9 + 5)
y = 5·x^2/9 + 5·x + 50/9
y = (-1)·x^2 + 5·x + (-1 + 5)
y = - x^2 + 5·x + 4
90141
punti
Genius II
