[Risolto] FASCIO DI PARABOLE

a.   Riscriviamo l'equazione del fascio raccogliendo la k 

$ Γ(k): y = 1-x + k(x^2-9)$

il fascio è generato dalla retta y = 1-x e dalle due rette verticali x = -3, x = +3

I punti base sono le intersezioni delle rette, in particolare

$\left\{\begin{aligned} y &= 1-x \\ x &= -3 \end{aligned} \right.$

la cui soluzione è y = -2. Il primo punto base ha coordinate A(-3,4)

$\left\{\begin{aligned} y &= 1-x \\ x &= 3 \end{aligned} \right.$

la cui soluzione è y = -4. Il secondo punto base ha coordinate B(3,-2)

b.  retta r contenuta nel fascio Γ(k)

dalla riscrittura compare l'equazione della retta cercata Γ(0): y = 1-x 

c.  Parabola del fascio passante per P(2,4)

Sostituiamo le coordinate di P(2,4) nell'equazione del fascio Γ(k) e determiniamo il valore di k che la rende vera.

$ 4 = 1 - 2 + k(4-9)$  vera per k = -1

Sostituiamo tale valore nell'equazione del fascio

$ Γ(-1): y = 1-x - (x^2-9)$ dalla quale ricaviamo

$ y = -x^2 -x+10$

d.  Area segmento parabolico AB

$ \text{Area} = \frac{1}{6} |a| (x_B - x_A)^3 = \frac{1}{6} 6^3 = 36$

y = k·x^2 - x + 1 - 9·k

riscrivo:

k·x^2 - x + 1 - 9·k - y = 0

k·(x^2 - 9) - x - y + 1 = 0

{x^2 - 9 = 0

{x + y - 1 = 0

risolvo: x = -3 ∨ x = 3

x = -3: -3 + y - 1 = 0--> y = 4

[-3, 4] 1° punto base

x = 3: 3 + y - 1 = 0-->y = -2

[3, -2] 2° punto base

Parabole secanti

Il fascio degenera in x=3 ed in x =-3

 retta per [3, -2] e [-3, 4] è y = 1-x è la retta contenuta nel fascio.

La parabola per [2, 4] è:

4 = k·2^2 - 2 + 1 - 9·k---->k = -1

y = (-1)·x^2 - x + 1 - 9·(-1)

y = - x^2 - x + 10

Area segmento parabolico:

{y = - x^2 - x + 10

{y = 1 - x

Risolvo: [x = 3 ∧ y = -2, x = -3 ∧ y = 4]

Α = ABS(-1)/6·ABS(-3 - 3)^3

Α = 36