[Risolto] FASCIO DI PARABOLE

Problema:

Considera il fascio di parabole di equazione y=kx²+(1-2k)x-2-3k.

(i) Studia le caratteristiche del fascio e determina i punti base

(ii) Determina l'equazione della retta r contenuta nel fascio

(iii) Determina la parabola γ del fascio avente come asse di simmetria la retta di equazione $x=\frac{3}{4}

(iiii) Determina l'area del segmento parabolico limitato dalla parabola γ e dalla retta r

Soluzione:

(i) È opportuno riscrivere l'equazione del fascio raccogliendo il parametro k:  $Φ_γ : x-2+k(x²-2x-3)=0$. Per ricavare i punti base è necessario dunque risolvere il sistema tra la retta del fascio ed una parabola di esso, in questo caso quella che si ottiene ponendo k=1.

{$y=x-2, y=x-2+k(x²-2x-3), k=1$} che risulta in $(x_1,y_1)=(-1,-3)$ e $(x_2,y_2)=(3,1)$.

(ii) Dall'equazione del fascio si nota con facilità che esso è composto da una parabola di equazione y=x²-2x-3 ed una retta di equazione y=x-2.

(iii) L'asse di simmetria di una parabola con asse parallelo all'asse delle ordinate è definito dall'equazione $x=-\frac{b}{2a}$, nel caso in questione, facendo riferimento all'equazione iniziale y=kx²+(1-2k)x-2-3k, si ha che b=(1-2k) ed a=(k) e dunque $\frac{3}{4}=-\frac{1-2k}{2k} \rightarrow k=2$. Sostituendo k risulta dunque y=2x²-3x-8.

(iiii) L'area del segmento parabolico limitato dalla parabola $γ: y=2x²-3x-8$ e dalla retta $r:y=x-2$ può essere determinata tramite integrale definito oppure tramite la formula del segmento parabolico $A=\frac{|a|}{6}|x_2-x_1|³$, ove i valori $x_2$ ed $x_1$ risultano essere coincidenti con quelli del punto (i).

Utilizzando la formula si ha che 

$A=\frac{2}{6}|4|³=\frac{64}{3}$

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.