[Risolto] FASCIO DI PARABOLE

a.  Riscriviamo l'equazione del fascio evidenziando il parametro k

$ Γ(k): y = 1-2x + k((x-1)(x+1)) $

Si tratta di una retta r: y = 1 - 2x e di una parabola degenere  composta  da  due rette x = -1 e x= +1

Le intersezioni retta r: con la parabola degenere identificano i punti base

i) per x = -1 si ha y = 3 a cui corrisponde il punto A(-1, 3)

ii) per x = 1 si ha y = -1 a cui corrisponde il punto B(1, -1)  

b.  Parabola del fascio passante per O(0,0)

determiniamo per quale valore di k, Γ(k) con le coordinate O(0,0) è verificata

$  0 = 1-0 + k((0-1)(0+1)) $ vera per k = 1 a cui corrisponde la parabola

$  Γ(1): y = 1-2x + (x^2-1) $

$ y = x^2 -2x $

c.  Parabola del fascio tangente alla retta y = -2x-1

Intersechiamo la retta y = -2x-1 con il fascio di parabole e imponiamo un'unica soluzione (discriminante nullo).

$\left\{\begin{aligned} y &= -2x-1 \\ y &= 1-2x + k(x^2-1) \end{aligned} \right.$

il discriminante Δ dell'equazione di secondo grado in x è 

Δ = k - 2 quindi sarà nullo per k = 2.

La parabola corrispondente è così

$ y = 1-2x + 2(x^2-1) $

$ y = 2x^2 -2x-1$

d.  La parabola avente vertice nella retta y = 3-x.

Riferiamoci alla forma data y = kx^2 -2x+ (1-k)

determiniamo le coordinate del vertice della generica parabola del fascio

$ V_x = -\frac {b}{2a} =  \frac{1}{k}$

$ V_y = - \frac {b^2-4ac}{4a} = - \frac {4-4k(1-k)}{4k} = - \frac {k^2-k+1}{k}$

Calcoliamo per quale valore di k le coordinate soddisfano l'equazione della retta

$ - \frac {k^2-k+1}{k} = 3 - \frac{1}{k}$

$ k^2 + 2k = 0 $

scartiamo la soluzione k = 0 a cui non corrisponde una parabola, rimane

k = -2

La parabola cercata è

$  y = -2x^2 -2x+ 3$