[Risolto] Fascio di parabole

Sperando che i calcoli siano giusti…

Al quesito A si può rispondere anche subito, prima di studiare il fascio: basta azzerare le x e porre y a uno.
* (1+k)-6-3k=0 ≡ k = - 5/2
da cui
* (1 - 2*(- 5/2))*x^2 - (3 + 3*(- 5/2))* x + (1 + (- 5/2))*y - 6 - 3*(- 5/2) = 0 ≡
≡ y = 4*x^2 + 3*x + 1
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Poi, con calma, si studia il fascio
* "(1-2k)x2-(3+3k)x+(1+k)y-6-3k=0" ≡
≡ Γ(k) ≡ (1 - 2*k)*x^2 - 3*(k + 1)*x + (k + 1)*y - 3*(k + 2) = 0
la cui equazione, a colpo d'occhio:
* manca del termine rettangolare, quindi gli assi di simmetria sono paralleli a un asse coordinato;
* manca del termine quadrato in y, quindi gli assi di simmetria sono paralleli all'asse y;
* ha parametrici i quattro i coefficienti (due simili), quindi presenta tre casi particolari e il caso generale esplicito in y.
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1) Per k = - 2: parabola per l'origine
* Γ(k) ≡ y = 5*x^2 + 3*x
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2) Per k = - 1: parabola degenere in due parallele distinte
* Γ(k) ≡ (x + 1)*(x - 1) = 0
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3) Per k = 1/2: parabola degenere nella retta del fascio
* Γ(k) ≡ y = 3*x + 5
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4) Per k ∉ {- 1, 1/2}: parabole non degeneri
* Γ(k) ≡ y = ((2*k - 1)/(k + 1))*x^2 + 3*x + 3*(k + 2)/(k + 1) ≡
≡ y = ((2*k - 1)/(k + 1))*(x + 3*(k + 1)/(2*(2*k - 1)))^2 + 3*(k - 1)*(5*k + 11)/(4*(k + 1)*(2*k - 1))
con
* asse di simmetria: x = - 3*(k + 1)/(2*(2*k - 1))
* apertura: a = (2*k - 1)/(k + 1)
* vertice: V(- 3*(k + 1)/(2*(2*k - 1)), 3*(k - 1)*(5*k + 11)/(4*(k + 1)*(2*k - 1)))
* fuoco: F(xV, yV + 1/(4*a))
* direttrice: d ≡ y = yV - 1/(4*a)
e, dopo che TU avrai calcolato F e d, lo studio sarà concluso.
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Al quesito B si risponde risolvendo l'equazione
* asse di simmetria: x = - 3*(k + 1)/(2*(2*k - 1)) = - 1/2 ≡ k = - 4
da cui
* Γ(- 4) ≡ y = 3*x^2 + 3*x + 2