FASCIO DI IPERBOLE

y = (k·x - 4)/(4·x - k)

Il centro del fascio è dato da:

4·x - k = 0-----> x = k/4

y = k/4 (rapporto fra i coefficienti della x)

La parabola è: y = x^2

Devi cercare la coincidenza fra i punti:

[ k/4, k/4] del fascio di iperboli

[x, x^2] della parabola

Quindi devi scrivere un sistema:

{x = k/4

{x^2 = k/4

Quindi, per sostituzione:

(k/4)^2 = k/4---> k^2/16 - k/4 = 0

che risolta fornisce:

k·(k - 4)/16 = 0---> k = 4 ∨ k = 0

k=4 si scarta perché per tale valore non si ha una iperbole ma una retta privata del punto [1,1]

Il centro dell'iperbole ha coordinate

x = -d/c = k/4

y = a/c = k/4

Se il centro deve stare sulla parabola

k/4 = (k/4)^2

k/4 = 0 V 1

k = 0 V 4

Spiegare i ragionamenti
1) La parabola y = x^2 è il luogo dei punti con ordinata pari al quadrato dell'ascissa.
2) I centri C del fascio sono l'intersezione fra gli asintoti.
3) Le iperboli del fascio
* Γ(k) ≡ y = (k*x - 4)/(4*x - k)
hanno asintoti
3a) verticale x = k/4
3b) orizzontale y = lim_(x → ∞) (k*x - 4)/(4*x - k) = k/4
e centri
3) C(k/4, k/4)
4) Per cadere sulla parabola occorre avere
* k/4 = (k/4)^2 ≡ (k = 0) oppure (k = 4)
da cui
* Γ(0) ≡ x*y = - 1, con C(- 1/4, - 1/4)
* Γ(4) ≡ y = 1, con C(1, 1)