[Risolto] FASCIO DI FUNZIONI OMOGRAFICHE

La funzione :

y = (k·x + 3)/(x + k - 2)

Si può scrivere come:

k - (k^2 - 2·k - 3)/(x + k - 2)

Lo si capisce andando a effettuare materialmente la divisione.

Quindi bisogna escludere i valori di k tali per cui risulta il resto nullo

(cioè k^2 - 2·k - 3 = 0:  perché in tal caso si avrebbe una retta y=k e non un'iperbole equilatera)

k^2 - 2·k - 3 ≠ 0----> (k + 1)·(k - 3) ≠ 0

quindi si ha una funzione omografica se risulta: k ≠ 3 ∧ k ≠ -1

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Punti base del fascio

Riscrivo la funzione ponendo le C.E.

x + k - 2 ≠ 0-----> x ≠ 2 - k

y·(x + k - 2) - (k·x + 3) = 0

k·(y - x) + (x·y - 2·y - 3) = 0

Quindi sistema:

{y - x = 0

{x·y - 2·y - 3 = 0

che risolto fornisce:

[x = -1 ∧ y = -1, x = 3 ∧ y = 3]

[-1, -1]

[3, 3]

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Per ammettere asintoto orizzontale y = -1

Il rapporto k/1=1----> k=1

(rapporto tra i coefficienti che della x)

per cui si ha: 

y = (1·x + 3)/(x + 1 - 2)----> y = (x + 3)/(x - 1)

Per ammettere asintoto verticale x = 4 deve essere:

2 - k = 4---> k = -2

per cui si ha:

y = ((-2)·x + 3)/(x + -2 - 2)

y = (2·x - 3)/(4 - x) (oppure anche: y = (3 - 2·x)/(x - 4))

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Il sistema:

{y = (x + 3)/(x - 1)

{y = (2·x - 3)/(4 - x)

Fornisce come soluzione: [x = -1 ∧ y = -1, x = 3 ∧ y = 3]

Cioè, come deve essere, i punti base del fascio trovati precedentemente.

Il più credo sia stato fatto!