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[Risolto] FASCIO DI CIRCONFERENZE.

  

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Studia il fascio di circonferenze di equazione:

$$
x^2+y^2+(k-2) x-k y=0
$$

determinando le generatrici, i punti base, l'asse radicale e le caratteristiche del fascio. Determina poi:
a. la retta dei centri delle circonferenze del fascio;
b. le circonferenze del fascio tangenti alla retta di equazione $y=-1$.
[Punti base: $(0,0),(1,1)$; asse radicale: $y=x$; a. $y=1-x$; b. $x^2+y^2-2 x=0, x^2+y^2+6 x-8 y=0$ ]

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x^2 + y^2 + (k - 2)·x - k·y = 0

riscrivo:

k·(x - y) + (x^2 + y^2 - 2·x) = 0

Punti base.

{x - y = 0

{x^2 + y^2 - 2·x = 0

Risolvo: [x = 0 ∧ y = 0, x = 1 ∧ y = 1]

[0, 0] e [1, 1]

asse radicale: y = x

asse dei centri: passa per [1/2,1/2] ed ha m=-1

y - 1/2 = - 1·(x - 1/2)---> y = 1 - x

Circonferenze tangenti ad y = -1:

{x^2 + y^2 + (k - 2)·x - k·y = 0

{y = -1

per sostituzione:

x^2 + (-1)^2 + (k - 2)·x - k·(-1) = 0

x^2 + x·(k - 2) + (k + 1) = 0

Δ = 0 

(k - 2)^2 - 4·(k + 1) = 0

k^2 - 8·k = 0---> k·(k - 8) = 0

k = 8 ∨ k = 0

x^2 + y^2 + (8 - 2)·x - 8·y = 0

x^2 + y^2 + 6·x - 8·y = 0

x^2 + y^2 + (0 - 2)·x - 0·y = 0

x^2 + y^2 - 2·x = 0

 



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SOS Matematica

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