FASCIO DI CIRCONFERENZE.

x - 2·y - 4 = 0  è l'asse radicale

I punti base sono le intersezioni con gli assi:

{x - 2·y - 4 = 0

{y = 0

che fornisce: [x = 4 ∧ y = 0]

{x - 2·y - 4 = 0

{x = 0

che fornisce: [x = 0 ∧ y = -2]

Determino il centro della circonferenza generatrice:

(come punto medio fra [4, 0] e [0, -2]

{x = (4 + 0)/2

{y = (0 - 2)/2

quindi: [2, -1]

determino r^2:

r^2 = (4 - 2)^2 + (0 + 1)^2

r^2 = 5

(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5

x^2 + y^2 - 4·x + 2·y = 0

Faccio la combinazione lineare:

k·(x - 2·y - 4) + (x^2 + y^2 - 4·x + 2·y) = 0

Riordino:

x^2 + y^2 + x·(k - 4) + y·(2 - 2·k) - 4·k = 0

è il fascio cercato.

Determiniamo i punti di intersezione della retta data con gli assi cartesiani, individuando le coordinate dei punti A e B. Calcoliamo le coordinate del punto medio M è la distanza che intercorre tra M e A. Tale distanza coincide con il raggio della circonferenza che passa per i punti AB. Come seconda generatrice useremo l'equazione dell'asse solidale che coincide con l'equazione della retta data (retta che passa per i punti A e B)

a. Circonferenza passante per A e B con centro in M.

a.1 Intersezione retta x - 2y -4 = 0 con asse delle y ( di equazione x = 0) ⇒ A(0, -2)    

a.2 Intersezione retta x - 2y -4 = 0 con asse delle x ( di equazione y = 0) ⇒ B(4, 0)    

a.3 Coordinate del punto medio M(2, -1)

a.4 Distanza MA =  $ r = \sqrt{((M_x-A_x)^2+(M_y-A_y)^2)} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

a.5 Equazione della circonferenza per A e B con centro in M(2,-1)

$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 5$

$x^2+y^2-4x+2y = 0$

.

b. Asse solidale.

L'asse solidale coincide con la retta data, cioè x-2y-4 = 0

.

c. Equazione del fascio.

Scriviamo la combinazione lineare tra circonferenza e asse solidale.

$x^2+y^2-4x+2y + k( x-2y-4) = 0$

ovvero

$x^2+y^2 +(k-4)x + 2(1-k)y -4k = 0$