Scrivi l'equazione del fascio di circonferenze passanti per i punti $A(1,-2)$ e $B(3,6)$.
$$
\left[x^2+y^2+(4 k-4) x-(k+4) y-6 k-9=0\right]
$$
Scrivi l'equazione del fascio di circonferenze passanti per i punti $A(1,-2)$ e $B(3,6)$.
$$
\left[x^2+y^2+(4 k-4) x-(k+4) y-6 k-9=0\right]
$$
Determino l'asse radicale:
[1, -2] e [3, 6]
Come retta per tali due punti:
(y + 2)/(x - 1) = (6 + 2)/(3 - 1)
(y + 2)/(x - 1) = 4----> y = 4·x - 6
4·x - y - 6 = 0
Determino la circonferenza (circonferenza generatrice) che ha come diametro AB e centro il punto medio.
{x = (1 + 3)/2
{y = (-2 + 6)/2
Quindi punto medio: [2, 2]
Determino r^2 come:
r^2 = (3 - 2)^2 + (6 - 2)^2
r^2 = 17
(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 17
x^2 + y^2 - 4·x - 4·y - 9 = 0
Scrivo la combinazione lineare:
k·(4·x - y - 6) + (x^2 + y^2 - 4·x - 4·y - 9) = 0
x^2 + y^2 + x·(4·k - 4) - y·(k + 4) - 6·k - 9 = 0
è il fascio cercato.
Determiniamo dapprima la circonferenza passante per i punti A(1, -2) e B(3,6), e di seguito l'asse radicale del fascio cioè la retta che passa per i due punti A, B. Questo è sufficiente per scrivere l'equazione del fascio.
a. Circonferenza.
$ M( \frac{A_x+B_x)}{2}, \frac{A_y+B_y)}{2}) = (2, 2)$
2. distanza d_{MB}, cioè il raggio della circonferenza passante per A e B.
$ d_{MB} = \sqrt {(M_x-B_x)^2 + (M_y - B_y)^2} = \sqrt{17}$
3. Equazione della circonferenza passante per A e B
$(x-2)^2 + (y-2)^2 = 17$
$ x^2+y^2-4x-4y-9 = 0 $
.
b. Asse radicale
1. retta passante per A e B.
Applichiamo la formula dalla quale risulta
$ 4x-y-6 = 0$
.
c. Equazione del fascio
Operiamo la combinazione lineare con un solo parametro k
$x^2+y^2-4x-4y-9 + k(4x-y-6) = 0 $
ovvero
$x^2+y^2 +4(k-1)x - (k+4)y -6k-9 = 0$