FASCIO DI CIRCONFERENZE.

Determino l'asse radicale:

[1, -2] e [3, 6]

Come retta per tali due punti:

(y + 2)/(x - 1) = (6 + 2)/(3 - 1)

(y + 2)/(x - 1) = 4----> y = 4·x - 6

4·x - y - 6 = 0

Determino la circonferenza (circonferenza generatrice) che ha come diametro  AB e centro il punto medio.

{x = (1 + 3)/2

{y = (-2 + 6)/2

Quindi punto medio: [2, 2]

Determino r^2 come: 

r^2 = (3 - 2)^2 + (6 - 2)^2

r^2 = 17

(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 17

x^2 + y^2 - 4·x - 4·y - 9 = 0

Scrivo la combinazione lineare:

k·(4·x - y - 6) + (x^2 + y^2 - 4·x - 4·y - 9) = 0

x^2 + y^2 + x·(4·k - 4) - y·(k + 4) - 6·k - 9 = 0

è il fascio cercato.

Determiniamo dapprima la circonferenza passante per i punti A(1, -2) e B(3,6), e di seguito l'asse radicale del fascio cioè la retta che passa per i due punti A, B. Questo è sufficiente per scrivere l'equazione del fascio.

a. Circonferenza.

1. Punto medio M tra A e B.

$ M( \frac{A_x+B_x)}{2}, \frac{A_y+B_y)}{2}) = (2, 2)$

    2. distanza  d_{MB}, cioè il raggio della circonferenza passante per A e B.

$ d_{MB} = \sqrt {(M_x-B_x)^2 + (M_y - B_y)^2} = \sqrt{17}$

   3. Equazione della circonferenza passante per A e B

$(x-2)^2 + (y-2)^2 = 17$

$ x^2+y^2-4x-4y-9 = 0 $ 

.

b. Asse radicale

    1. retta passante per A e B.

Applichiamo la formula dalla quale risulta

$ 4x-y-6 = 0$

.

c. Equazione del fascio

Operiamo la combinazione lineare con un solo parametro k

$x^2+y^2-4x-4y-9 + k(4x-y-6) = 0 $

ovvero

$x^2+y^2 +4(k-1)x - (k+4)y -6k-9 = 0$