[Risolto] fascio di circonferenze

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

Fai passare la circonferenza generica per i due punti e risolvi il sistema ottenuto:

{2^2 + 1^2 + a·2 + b·1 + c = 0 passa per [2, 1]

{1^2 + 0^2 + a·1 + b·0 + c = 0 passa per [1, 0]

quindi:

{2·a + b + c = -5

{a + c = -1

ad esempio rispetto ad a e b  in termini di c:

[a = -c - 1 ∧ b = c - 3]

Quindi ottieni:

x^2 + y^2 - x·(c + 1) + y·(c - 3) + c = 0

Puoi verificare quanto ottenuto scrivendo il fascio in c:

c·(x - y - 1) - (x^2 - x + y^2 - 3·y) = 0

e risolvendo il sistema:

{x - y - 1 = 0

{x^2 - x + y^2 - 3·y = 0

per cui:

[x = 1 ∧ y = 0, x = 2 ∧ y = 1]

x - y - 1 = 0 è l'asse radicale

Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q) e, se questi sono funzioni di un medesimo parametro k, allora l'equazione ha parametrico anche il nome, Γ(k), e rappresenta un intero fascio di circonferenze.
Quello richiesto ha come centro C(x, y) un punto equidistante da A(2, 1) e da B(1, 0) e per raggio tale comune distanza
* |AC|^2 = |BC|^2 = q ≡
≡ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2 = q ≡
≡ (y = 2 - x) & (q = 2*(x - 3/2)^2 + 1/2)
da cui
* C(k, 2 - k)
* q(k) = 2*(k - 3/2)^2 + 1/2 >= 1/2 > 0
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (2 - k))^2 = 2*(k - 3/2)^2 + 1/2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 2*k*x + 2*(k - 2)*y + (2*k - 1) = 0