Assegnato il fascio di circonferenze di equazione (2k+1)x^2+(2k+1)y^2+6(k+1)x-(2k+1)y+3(3+k)=0 con k appartenente a R, studiane le caratteristiche. trova poi l'equazione della circonferenza del fascio che, intersecandosi con la retta y=-x+1, individua su di essa una corda di lunghezza 3/2 * √
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Livello 0
Il fascio
* Γ(k) ≡ (2*k + 1)*x^2 + (2*k + 1)*y^2 + 6*(k + 1)*x - (2*k + 1)*y + 3*(k + 3) = 0 ≡
≡ (x^2 + y^2 + 6*x - y + 9) + 2*k*(x^2 + y^2 + 3*x - y + 3/2) = 0
ha tre casi particolari
* Γ(- 3) ≡ 5*x^2 + 5*y^2 + 12*x - 5*y = 0 (per l'origine)
* Γ(- 1) ≡ x^2 + y^2 - y - 6 = 0 (centrata sull'asse y)
* Γ(- 1/2) ≡ x = - 5/2 (degenere sulla retta del fascio)
e il caso generale per k != - 1/2
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 + 6*((k + 1)/(2*k + 1))*x - y + 3*(k + 3)/(2*k + 1) = 0 ≡
≡ (x + 3*(k + 1)/(2*k + 1))^2 - (3*(k + 1)/(2*k + 1))^2 + (y - 1/2)^2 - (1/2)^2 + 3*(k + 3)/(2*k + 1) = 0 ≡
≡ (x + 3*(k + 1)/(2*k + 1))^2 + (y - 1/2)^2 = ((4*k - 1)/(2*(2*k + 1)))^2
dal quale si leggono le caratteristiche individuali
* raggio r(k) = (4*k - 1)/(2*(2*k + 1))
* centro C(- 3*(k + 1)/(2*k + 1), 1/2)
e si ricavano quelle collettive
* asse centrale y = 1/2
* Γ(0) & Γ(1) ≡ ((x + 3)^2 + (y - 1/2)^2 = 1/4) & ((x + 2)^2 + (y - 1/2)^2 = 1/4) ≡ T(- 5/2, 1/2)
da cui
** unico punto base T
** asse radicale x = - 5/2
* tipo di circonferenza (solo tipi reali, r^2 >= 0)
** ((4*k - 1)/(2*(2*k + 1)))^2 = 0 ≡ k = 1/4 ≡ degenere sul centro
** ((4*k - 1)/(2*(2*k + 1)))^2 > 0 ≡ k ∉ {- 1/2, 1/4} ≡ non degenere
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Con y = 1 - x si ha
* (2*k + 1)*x^2 + (2*k + 1)*(1 - x)^2 + 6*(k + 1)*x - (2*k + 1)*(1 - x) + 3*(k + 3) = 0 ≡
≡ 2*(2*k + 1)*x^2 + (4*k + 5)*x + 3*(k + 3) = 0
con discriminante
* Δ(k) = - 32*(k^2 + 4*k + 47/32) = - 32*(k^2 - (- 16 - 9*√2)/8)*(k^2 - (- 16 + 9*√2)/8)
positivo fra gli zeri
* Δ(k) > 0 ≡ (- 16 - 9*√2)/8 ~= - 3.6 < k < (- 16 + 9*√2)/8 ~= - 0.4
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Le intersezioni
* (y = 1 - x) & (2*k*(x^2 + y^2 + 3*x - y + 3/2) + (x + 3)^2 + y^2 - y = 0) & (k != - 1/2) ≡
≡ A((-(4*k + 5) - √Δ)/(4*(2*k + 1)), (3*(4*k + 3) + √Δ)/(4*(2*k + 1))) oppure B((-(4*k + 5) + √Δ)/(4*(2*k + 1)), (3*(4*k + 3) - √Δ)/(4*(2*k + 1)))
distano
* |AB| = d(k) = √(Δ/(2*(2*k + 1)^2)) = √(- 32*(k^2 + 4*k + 47/32)/(2*(2*k + 1)^2))
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* d(k) = (3/2)*√2 ≡
≡ √(- 32*(k^2 + 4*k + 47/32)/(2*(2*k + 1)^2)) = (3/2)*√2 ≡
≡ (k = - 2) oppure (k = - 7/17)
da cui
* Γ(- 2) ≡ x^2 + y^2 + 2*x - y - 1 = 0
* Γ(- 7/17) ≡ x^2 + y^2 + 20*x - y + 44 = 0
57171
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Genius I
