267) Del fascio di circonferenze
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 - 2*k*x - 2*(k - 1)*y - 4 = 0 ≡
≡ (x - k)^2 + (y - (k - 1))^2 = 2*(k - 1/2)^2 + 9/2
con
* raggi: r(k) = √(2*(k - 1/2)^2 + 9/2) >= 3/√2 > 0
* centri: C(k, k - 1)
* luogo dei centri (asse centrale): y = x - 1
si chiedono, preliminarmente ai quesiti veri e proprî,
1) "LE generatrici" che, con l'articolo determinativo, non esistono per definizione di fascio.
2) "i punti base" (zero, uno o due) come soluzione del sistema fra due Γ(k) qualsiasi, ad esempio
* Γ(0) & Γ(1) ≡ (x^2 + y^2 - 2*0*x - 2*(0 - 1)*y - 4 = 0) & (x^2 + y^2 - 2*1*x - 2*(1 - 1)*y - 4 = 0) ≡
≡ A(- 1, 1) oppure B(2, - 2)
i due punti base reali distinti vogliono dire
2a) l'asse radicale è la loro congiungente, y = - x, la bisettrice dei quadranti pari;
2b) le Γ(k) sono secanti fra di loro.
3) "l'asse radicale" v. sub 2a.
4) "le caratteristiche delle Γ(k)" o vale quanto sopra o servono ulteriori precisazioni.
Risposte ai quesiti
a) "simmetrica rispetto all'asse x" ≡ C(p, 0) = (k, k - 1) ≡ k = p = 1
b) "simmetrica rispetto all'asse y" ≡ C(0, q) = (k, k - 1) ≡ (k = 0) & (q = - 1)
c) "simmetrica rispetto all'origine" ≡ C(0, 0) = (k, k - 1) ≡ ∄ k ∈ R
Generatrici
Per definizione si chiama equazione di un fascio di circonferenze una qualsiasi combinazione lineare non banale fra le equazioni di due qualsiasi circonferenze dette circonferenze generatrici del fascio.
Ad esempio, con le circonferenze
* Γ(0) ≡ x^2 + y^2 + 2*y - 4 = 0
* Γ(1) ≡ x^2 + y^2 - 2*x - 4 = 0
si forma
* Γ(a, b) ≡ (a*(x^2 + y^2 + 2*y - 4) + b*(x^2 + y^2 - 2*x - 4) = 0) & (|a| + |b| > 0) & (a + b != 0) ≡
≡ ((a + b)*x^2 + (a + b)*y^2 - 2*b*x + 2*a*y - 4*(a + b) = 0) & (|a| + |b| > 0) & (a + b != 0) ≡
≡ (x^2 + y^2 - 2*(b/(a + b))*x + 2*(a/(a + b))*y - 4 = 0) & (|a| + |b| > 0) & (a + b != 0)
dal momento che il fascio è definito da "una QUALSIASI combinazione lineare non banale" basta porre
* a = (1/k - 1)*b
per dimostrare che quello generato da Γ(0) e Γ(1) è proprio lo stesso fascio dato.
