[Risolto] fasci di rette

La retta comune può essere ottenuta ragionando geometricamente : essa sarà la congiungente dei centri dei due fasci. Ti invito a svolgere il problema in questo modo.

Io invece lo faccio per via algebrica

hx - y + 3h = 0    deve equivalere a

x - 2ky + k = 0    e ciò accade solo se

h/1 = 1/(2k) = 3h/k   

da cui, se risulta h =/= 0, 1 = 3/k   e k = 3

mentre h = 1/(2*3) = 1/6

sostituendo si ha infatti     1/6 x - y + 1/2 = 0 =>   x - 6y + 3 = 0

oppure   anche x - 6y + 3 = 0   

Questa é proprio la retta che congiunge i due centri.

Per il secondo quesito risolvi il sistema

{ hx - y = -3h

{ x - 2hy = - h

y = hx + 3h

x - 2h^2 (h + 3) = - h

x = 2h^3 + 6h^2 - h

y = 2h^4 + 6h^3 - h^2 + 3h

e affinché sia l'origine occorre che risulti h = 0

in quanto l'equazione  2h^3 + 6h^2 - h = 0 ha una radice nulla 

e y = h (2h^3 + 6h^2 - h + 3 )

per cui l'unico modo per ottenere simultaneamente x = 0 e y = 0

é scegliere h = 0.

L'area del triangolo ABO, essendo i due centri A = (-3,0) e B = (0; 1/2),

é S = 1/2*3 * 1/2 = 3/4.

@vera03

Ciao.

Determino centro del fascio proprio di rette.

Centro A relativo a:

h·x - y + 3·h = 0

assegno h=0 ed h=1

{0·x - y + 3·0 = 0

{1·x - y + 3·1 = 0

risolvo: [x = -3 ∧ y = 0]------> A(-3,0)

Centro B relativo a:

x - 2·h·y + h = 0

assegno h=0 ed h=1

{x - 2·0·y + 0 = 0

{x - 2·1·y + 1 = 0

risolvo: [x = 0 ∧ y = 1/2]----->B(0,1/2)

La retta comune ai due fasci è la retta passante per A e B

(y - 0)/(x + 3) = (1/2 - 0)/(0 + 3)

y = x/6 + 1/2

Le coordinate del punto di intersezione P sono date dal sistema dei due fasci interpretando h quale costante:

{h·x - y =- 3·h 

{x - 2·h·y= - h 

Risolvo (ad esempio con Cramer) ed ottengo: 

[x = h·(1 - 6·h)/(2·h^2 - 1) ∧   y = h·(h - 3)/(2·h^2 - 1)]---->P

Il punto P per cui si ha la coincidenza con l'origine degli assi è per h=0 : P(0,0)

L'area del triangolo ABO che è rettangolo nell'origine, vale:

Area=1/2*|-3|*|1/2| = 1/2·3·(1/2)-------> A = 3/4

Dai fasci dati
* r(h) ≡ h*x - y + 3*h = 0
* s(h) ≡ x - 2*h*y + h = 0
si ricavano le rette
* r(0) ≡ 0*x - y + 3*0 = 0 ≡ y = 0
* s(0) ≡ x - 2*0*y + 0 = 0 ≡ x = 0
e
* r(1) ≡ 1*x - y + 3*1 = 0 ≡ y = x + 3
* s(1) ≡ x - 2*1*y + 1 = 0 ≡ y = (x + 1)/2
poi da queste i centri dei fasci
* (y = 0) & (y = x + 3) ≡ R(- 3, 0)
* (x = 0) & (y = (x + 1)/2) ≡ S(0, 1/2)
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RISPOSTE AI QUESITI
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A) Determinare la retta comune ai due fasci.
* RS = x/(- 3) + y/(1/2) = 1 ≡ x - 6*y + 3 = 0
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B) Trovare P(x(h), y(h)) ≡ r(h) & s(h).
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B1) Per h = - 1/√2
* r(- 1/√2) & s(- 1/√2) ≡
≡ ((- 1/√2)*x - y + 3*(- 1/√2) = 0) & (x - 2*(- 1/√2)*y + (- 1/√2) = 0) ≡
≡ (y = - (x + 3)/√2) & (y = 1/2 - x/√2) ≡
≡ due parallele di pendenza m = - 1/√2
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B2) Per h = + 1/√2
* r(1/√2) & s(1/√2) ≡
≡ (x/√2 - y + 3/√2 = 0) & (x - (2/√2)*y + 1/√2 = 0) ≡
≡ (y = (x + 3)/√2) & (y = 1/2 + x/√2) ≡
≡ due parallele di pendenza m = 1/√2
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B3) Per h^2 != 1/2
* r(h) & s(h) ≡ (h*x - y + 3*h = 0) & (x - 2*h*y + h = 0) ≡
≡ P((1 - 6*h)*h/(2*h^2 - 1), (h - 3)*h/(2*h^2 - 1))
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C) Trovare, se esiste, un h tale che P(x(h), y(h)) ≡ O(0, 0).
* ((1 - 6*h)*h/(2*h^2 - 1) = 0) & ((h - 3)*h/(2*h^2 - 1) = 0) ≡ h = 0
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D) Calcolare l'area del triangolo ORS.
L'area di ORS, rettangolo in O, è il semiprodotto dei cateti
* A(ORS) = |- 3|*|1/2|/2 = 3/4