Fasci di rette

x + (k - 2)·y + k + 1 = 0

riscrivo: k·(y + 1) + x - 2·y + 1 = 0

metto a sistema le rette generatrici:

{y + 1 = 0

{x - 2·y + 1 = 0

risolvo ed ottengo il centro proprio del fascio: [x = -3 ∧ y = -1]

Determino le intersezioni della generica retta passante per il centro del fascio [-3, -1]:

{y + 1 = m·(x + 3)

{x = 0

risolvo ed ottengo:  [x = 0 ∧ y = 3·m - 1]

{y + 1 = m·(x + 3)

{x = 0

risolvo ed ottengo: [x = 0 ∧ y = 3·m - 1]

Deve essere:

Α = 1/2·ABS((1 - 3·m)/m)·ABS(3·m - 1)

Α = (3·m - 1)^2/(2·ABS(m))

(3·m - 1)^2/(2·ABS(m)) = 2/5

risolvo ed ottengo: m = 5/9 ∨ m = 1/5

m = 5/9

y + 1 = 5/9·(x + 3)---> y = 5·x/9 + 2/3

Risolvo il fascio rispetto ad y:

y = x/(2 - k) - (k + 1)/(k - 2)

{5/9 = 1/(2 - k)

{2/3 = - (k + 1)/(k - 2)

In ogni caso risulta: k = 1/5

m = 1/5

y + 1 = 1/5·(x + 3)---> y = x/5 - 2/5

Quindi:

{1/5 = 1/(2 - k)

{- 2/5 = - (k + 1)/(k - 2)

In ogni caso ottengo: k = -3

Calcoliamo le lunghezze dei lati

• Intersezione con l'asse delle x di equazione y = 0 ⇒ x = -(k+1)
  • • Lunghezza del lato $ l_x = |-(k+1)| = |k+1|$
• Intersezione con l'asse delle y di equazione x = 0 ⇒ y = (k+1)/(2-k)
  • • Lunghezza del lato $ l_y = |(k+1)|/|2-k| $

L'area del triangolo sarà quindi $ A = \frac{l_x \cdot l_y}{2} = \frac {|k+1|^2}{2|2-k|} = \frac {(k+1)^2}{2|2-k|} $

Imponiamo che sia $A = \frac{2}{5} \; ⇒ \; \frac {(k+1)^2}{2|2-k|} = \frac{2}{5} \; ⇒ \; 5(k+1)^2 = 4|2-k|$

quest'ultima equazione ammette due soluzioni $ k_1 = -3 \; \lor \; k_2 = \frac{1}{5}$