studia il fascio di equazione: Y= KX^2-(2K +1)x più K -1;
Determina la parabola del fascio avente per tangente la retta Y=- 3X
studia il fascio di equazione: Y= KX^2-(2K +1)x più K -1;
Determina la parabola del fascio avente per tangente la retta Y=- 3X
Riscriviamo il fascio di parabole nel seguente modo:
y - (k·x^2 - (2·k + 1)·x + k - 1) = 0
- k·(x^2 - 2·x + 1) + x + y + 1 = 0
Quindi determiniamo gli eventuali punti base del fascio dal seguente sistema:
{x^2 - 2·x + 1 = 0
{x + y + 1 = 0
Risolvendolo si ottiene un solo punto base:
[x = 1 ∧ y = -2]-----> [1,2]
Ciò indica un fascio di parabole tutte tangenti nel punto ottenuto. Per valori di k ≠ 0 ad esempio per
k=-1; k=1; k=2
si hanno le parabole di figura:
Assegnando particolari valori al parametro k abbiamo le cosiddette parabole degeneri.
Per k=0 ----> x + y + 1 = 0 comune a tutte le parabole del fascio
L'altra la retta verticale con molteplicità 2: (x-1)^2=0---> x=1
-----------------------------
La parabola del fascio avente per tangente la retta y=-3x è indicata nella figura precedente ed è quella passante per l'origine con k=1
{y = k·x^2 - (2·k + 1)·x + k - 1
{y = - 3·x
per sostituzione:
k·x^2 - (2·k + 1)·x + k - 1 + 3·x = 0
k·x^2 + x·(2 - 2·k) + k - 1 = 0
condizione di tangenza: Δ/4 = 0
(1 - k)^2 - k·(k - 1) = 0
1 - k = 0-----> k = 1
y = 1·x^2 - (2·1 + 1)·x + 1 - 1
y = x^2 - 3·x