Considera il fascio di curve di equazione:
$$
y=\frac{k x-4}{4 x-k}
$$
Determina per quali valori di $k$ l'equazione del fascio rappresenta un'iperbole e gli eventuali punti base del fascio. Determina quindi per quali valori di $k$ si ottiene:
a. un'iperbole avente come asintoto la retta di equazione $x=-3$;
b. un'iperbole che interseca l'asse $x$ nel punto $P(3,0)$;
c. un'iperbole avente il centro sulla parabola di equazione $y=x^2$;
d. un'iperbole tangente alla retta di equazione $y=2 x$.
3366
punti
Livello 2
y = (k·x - 4)/(4·x - k)
Eseguo divisione ed ottengo:
y = (k^2 - 16)/(4·(4·x - k)) + k/4
pongo:
(k^2 - 16)/(4·(4·x - k)) ≠ 0
k ≠ -4 ∧ k ≠ 4 condizione affinché sia iperbole
Altrimenti:
per k = -4: y = ((-4)·x - 4)/(4·x +4)
y = (- 4·(x + 1))/(4·(x + 1))--->y = -1 privata del punto [-1, -1]
per k = 4 : y = (4·x - 4)/(4·x - 4)
y = 4·(x - 1)/(4·(x - 1))---> y = 1 privata del punto [1, 1]
Punti base
y·(4·x - k) - (k·x - 4) = 0
4·x·y - k·x - k·y + 4 = 0
k·(x + y) - 4·x·y - 4 = 0
{x + y = 0
{- 4·x·y - 4 = 0
Risolvo: [x = 1 ∧ y = -1, x = -1 ∧ y = 1]
[1, -1] e [-1, 1]
------------------------------
asintoto verticale x= -3
4·x - k = 0----> x = k/4
k/4 = -3---> k = -12
----------------------------
passa per [3, 0]
0 = (k·3 - 4)/(4·3 - k)---> k = 4/3
---------------------------------
y = (k·x - 4)/(4·x - k)
centro iperbole: [k/4, k/4]
coordinate sulla parabola:
[x, x^2]
{k/4 = x
{k/4 = x^2
Quindi:
k/4 = (k/4)^2
k/4 = k^2/16
k^2/16 - k/4 = 0
k·(k - 4)/16 = 0----> k = 4 ∨ k = 0
----------------------------------
{y = (k·x - 4)/(4·x - k)
{y = 2·x
(k·x - 4)/(4·x - k) - 2·x = 0
(8·x^2 - 3·k·x + 4)/(k - 4·x) = 0
8·x^2 - 3·k·x + 4 = 0
Δ = 0 condizione tangenza
(- 3·k)^2 - 4·8·4 = 0
9·k^2 - 128 = 0
risolvo ed ottengo:
k = - 8·√2/3 ∨ k = 8·√2/3
94774
punti
Genius II
