Studia il fascio di circonferenze di equazione:
$$
x^2+y^2+2(k-1) x-k y-3=0
$$
determinando le generatrici, i punti base, l'asse radicale e le caratteristiche del fascio. Determina poi le circonferenze del fascio tangenti alla retta di equazione $x+2 y-6=0$.
$$
\left[\text { Punti base: }(1,2) ;\left(-\frac{3}{5},-\frac{6}{5}\right) \text {; asse radicale: } 2 x-y=0 ; x^2+y^2+2 x-2 y-3=0 ; x^2+y^2-\frac{14}{5} x+\frac{2}{5} y-3=0\right]
$$
3366
punti
Livello 2
Le generatrici sono
.
Risolviamo il solito sistema composto dalle generatrici
$\left\{\begin{aligned} x^2+y^2-2x-3 &=0 \\ 2x-y &= 0 \end{aligned} \right.$
le cui due soluzioni ci danno le coordinate di
A(-3/5, -6/5); B(1,2)
.
E' la retta che passa per A, B cioè la circonferenza degenere 2x-y = 0
Se tra le generatrici compare una retta, quella retta è l'asse radicale.
Determiniamo le intersezioni fascio retta e imponiamo che ammetta una sola soluzione reale (ovviamente di molteplicità 2) ponendo in discriminante uguale a 0.
i) Intersezione fascio retta.
$ \left\{\begin{aligned} x^2+y^2-2x-3 + k(2x-y) &= 0 \\ x+2y-6 &=0 \end{aligned} \right.$
Le cui due soluzioni sono
$x = \frac{1}{5} (10-5k ± \sqrt{5} \sqrt{5k^2-8k-4})$
$y = \frac{1}{10} (20+5k -(±) \sqrt{5} \sqrt{5k^2-8k-4})$
con la notazione -(±) intendo che se nella soluzione di x compare + allora nella soluzione y compare il - e viceversa.
ii) Imponiamo che il discriminante
$Δ = 5k^2 -8k-4$
sia nullo, cioè che la retta sia tangente
$Δ = 0 \quad \implies 5k^2 -8k-4 = 0$
e questa condizione è verificata per
$ k_1 = 2 \lor k_2 = -\frac{2}{5}$
a cui corrispondono le circonferenze
⊳ per k = 2 avremo $x^2+y^2+2x-2y-3=0$
⊳ per k =$ -\frac{2}{5}$ avremo $x^2+y^2- \frac{14}{5}x+ \frac{2}{5}y-3=0$
10295
punti
Livello 3
