[Risolto] FASCI DI CIRCONFERENZE

Problema:

Studia il fascio di circonferenze di equazione:

$(k+1)x²+(k+1)y²-4x-k-1=0$

determinando le generatrici, i punti base, l'asse radicale e le caratteristiche del fascio. Determina poi la circonferenza del fascio passante per il punto P(1,1).

Soluzione:

Si riscrive l'equazione del fascio di circonferenze raccogliendo k

$Φ_π: x²+y²-4x-1+k(x²+y²-1)=0$

Il fascio risulta dunque composto dalle circonferenze generatrici $π_1: x²+y²-4x-1=0$ e $π_2: x²+y²-1=0$.

Per determinare l'asse radicale è necessario porre a sistema le due circonferenze e procedere tramite il metodo addizione-sottrazione al fine di rimuovere i valori di secondo grado, nel caso specifico in questione è necessario applicare la seguente sottrazione: $π_1 - π_2$ ossia $x²+y²-4x-1 - x²+y²-1=0 \rightarrow -4x=0  \rightarrow x=0$.

Per determinare i punti base è necessario risolvere il sistema tra le due circonferenze generatrici o tra una circonferenza generatrice e l'asse radicale.

$π_1: x²+y²-4x-1=0$

$π_2: x²+y²-1=0$

ossia $(x,y)=(0,1),(0-1)$

Per determinare la circonferenza del fascio passante per il punto P(1,1) è necessario sostituire i valori x ed y del punto P nell'equazione del fascio di circonferenze al fine di ricavare il valore di k $Φ_π: x²+y²-4x-1+k(x²+y²-1)=0$ ossia $Φ_π: 1²+1²-4(1)-1+k(1²+1²-1)=0 \rightarrow -3+k=0 \rightarrow k=3$.

Sostituendo k nell'equazione del fascio si ottiene la circonferenza $π_P: x²+y²-x-1=0$.

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.

Il fascio
* Γ(k) ≡ (k + 1)*x^2 + (k + 1)*y^2 - 4*x - (k + 1) = 0
è di fatto parametrico in p = k + 1 (k = p - 1) cioè si studia come
* Γ(p) ≡ p*x^2 + p*y^2 - 4*x - p = 0
salvo alla fine mutare in k i risultati. Ha il solo caso particolare
* Γ(0) ≡ x = 0
e, per p != 0, è
* Γ(p) ≡ x^2 + y^2 - 4*x/p - 1 = 0 ≡ (x - 2/p)^2 + y^2 = 1 + 4/p^2
con
* raggi r(p) = √(1 + 4/p^2) > 1
* centri C(2/p, 0)
* asse centrale y = 0
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Poiché il centro ha l'ascissa parametrica non si tratta di un fascio concentrico (che non necessita di generatrici, avendo il termine noto come unico parametro), ma di uno ottenuto come combinazione lineare o fra due circonferenze qualsiasi oppure fra una circonferenza qualsiasi e l'asse radicale (ottenuto come differenza fra due circonferenze qualsiasi).
L'iterazione dell'aggettivo indefinito sta a esprimere il mio disprezzo per l'ignoranza di chi scrive "determinando le generatrici" con l'articolo determinativo e poi ci riscuote su il diritto d'autore: "le generatrici" non esistono, esistono solo "due generatrici qualsiasi"!
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Risposte ai quesiti
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"circonferenza per P(1, 1)"
* (1 - 2/p)^2 + 1^2 = 1 + 4/p^2 ≡ p = 4
* Γ(4) ≡ x^2 + y^2 - x - 1 = 0
che è proprio il risultato atteso.
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Per rispondere agli altri quesiti servono due circonferenze qualsiasi con p != 0, ad esempio
* Γ(1) ≡ (x - 2)^2 + y^2 = 5 ≡ x^2 + y^2 - 4*x - 1 = 0
* Γ(2) ≡ (x - 1)^2 + y^2 = 2 ≡ x^2 + y^2 - 2*x - 1 = 0
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"asse radicale" differenza
* (x^2 + y^2 - 4*x - 1) - (x^2 + y^2 - 2*x - 1) = 0 ≡ x = 0
che è proprio il risultato atteso.
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"punti base" intersezione
* ((x - 2)^2 + y^2 = 5) & ((x - 1)^2 + y^2 = 2) ≡
≡ B1(0, - 1) oppure B2(0, 1)
che è proprio il risultato atteso.
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"due generatrici" Γ(1), Γ(2), ...
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"le caratteristiche" ancora altre?