[Risolto] FASCI DI CIRCONFERENZE

Due note preliminari sul miglior modo di presentare una domanda (la proprietà di linguaggio!).
1) Il modo verbale.
1a) Presentare una domanda è una richiesta d'aiuto: tu hai almeno un dubbio su come svolgere un esercizio e lo pubblichi chiedendo a chi legge il favore di spiegarlo e/o svolgerlo.
1b) l'analisi grammaticale di "risolvi" è «voce del verbo transitivo risolvere, seconda coniugazione, in forma attiva; modo imperativo, tempo presente; 2^a persona singolare.».
1c) Non trovi che sia stupido chiedere favori coi verbi all'imperativo? Si rischia di ricevere dei sonori cachinni, pernacchi e Vaffa! Come minimo, uno passa alla prossima senza risponderti.
2) L'adeguatezza lessicale.
Un fascio di circonferenze è un'equazione che descrive, non una da risolvere; risolvere è un verbo che non c'entra proprio: assai meglio ci sarebbe stato uno di {esaminare, studiare, discutere, analizzare, ...}, ma non all'imperativo: chi ti legge non è al tuo servizio!
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Esercizio
Del fascio di iperboli
* Γ(k) ≡ (1 + k)*x^2 + (1 + k)*y^2 + 2*(1 - 4*y)*x - 2*y + 15*k = 0
si chiede
a) di trovare un qualche modo di trasformarlo in un fascio di circonferenze e, di quest'ultimo, determinare
b) gli eventuali punti base
c) l'asse radicale
d) l'asse centrale
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a) Il fascio di circonferenze
* Γ(k) ≡ (k + 1)*x^2 + (k + 1)*y^2 - 2*(4*k - 1)*x - 2*y + 15*k = 0
ha alcuni casi particolari
* Γ(- 1) ≡ y = 5*x - 15/2, circonferenza degenere sulla retta del fascio (asse radicale)
* Γ(0) ≡ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2, circonferenza per l'origine
* Γ(K1 = (23 - √521)/2 ~= 0.1) ≡ circonferenza degenere sul centro
* Γ(K1 < k < K2) ≡ circonferenze con raggio immaginario
* Γ(K2 = (23 + √521)/2 ~= 23) ≡ circonferenza degenere sul centro
e il caso generale, per x ∉ {- 1, [K1, K2]}
* Γ(k) ≡ (x - 5/(k + 1) - 4)^2 + (y - 1/(k + 1))^2 = (k^2 - 23*k + 2)/(k + 1)^2
con
* raggio r(k) = √((k^2 - 23*k + 2)/(k + 1)^2)
* centro C(4 - 5/(k + 1), 1/(k + 1))
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b) I punti base, se esistono, sono le eventuali intersezioni fra la retta e una circonferenza del fascio
* Γ(- 1) & Γ(0) ≡ (y = 5*x - 15/2) & ((x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2)
ha risolvente
* (x + 1)^2 + (5*x - 15/2 - 1)^2 - 2 = 0 ≡
≡ 104*x^2 - 332*x + 285 = 0
con discriminante
* Δ = - 8336 < 0
quindi punti base non ce ne sono.
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c) Già visto: Γ(- 1) ≡ y = 5*x - 15/2.
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d) L'asse centrale si determina eliminando il parametro da C(4 - 5/(k + 1), 1/(k + 1))
* (x = 4 - 5/(k + 1)) & (y = 1/(k + 1)) ≡
≡ (k = (x + 1)/(4 - x)) & (y = (4 - x)/5)
e si vede che, con pendenza - 1/5, risulta ortogonale a Γ(- 1).