[Risolto] FASCI DI CIRCONFERENZE

• Riscriviamola nella forma che evidenzia le generatrici

$ x^2+y^2+2x-4y+4+k(x^2+y^2-1) = 0$

Le generatrici sono 

$ γ_1: x^2+y^2+2x-4y+4 = 0;$ circonferenza di centro C(1,-2)

$ γ_2: x^2+y^2-1 = 0;$ circonferenza di centro C(0,0)

  a.  Punti base.

il sistema composto dalle equazioni delle due circonferenze

$\left\{\begin{aligned} x^2+y^2+2x-4y+4 &= 0 \\ x^2+y^2-1 &= 0 \end{aligned} \right.$

si riduce 

$\left\{\begin{aligned} x^2+y^2+2x-4y+4 &= 0 \\ 2x-4y+5 &= 0 \end{aligned} \right.$

che non ammette soluzioni. Le due circonferenze sono esterne quindi non ci sono punti base.

nota la retta che compare nell'ultimo sistema è proprio l'asse radicale.

  b.   Per quali k è una circonferenza?

Riscriviamo l'equazione del fascio nella forma canonica di una circonferenza, dividendo per (k+1)

$ x^2+y^2 + \frac{2}{k+1}x - \frac{4}{k+1}y + \frac{4-k}{k+1} = 0$

per essere una circonferenza compresa quella degenere di raggio nullo, il raggio deve essere positivo o nullo, cioè

$ r = \sqrt{(C_x)^2 + (C_y)^2 - γ} \ge 0$

che si ha quando l'argomento della radice è maggiore o eguale a 0.

$ \frac {1}{(k+1)^2} + \frac {4}{(k+1)^2} - \frac {4-k}{(k+1)} \ge 0$

$ 5 -(4-k)(k+1) \ge 0$

disequazione vera per

$k \le \frac{1}{2}(3-\sqrt{5}) \lor k \ge \frac{1}{2}(3+\sqrt{5})$

.

   c. Asse radicale e retta dei centri

c.1 Asse radicale. Si ottiene per k=-1 

2x-4y+5 = 0

retta già incontrata in precedenza. Notiamo che il coefficiente angolare $m_r = \frac{1}{2}$

c.2 Retta dei centri.

E' la retta ortogonale all'asse radicale quindi il suo coefficiente angolare sarà $m_c = 2$ che passa per il centro C(1,-2) cioè

2x+y = 0

.

   d.  Circonferenze tangenti all'asse delle y.

i) Equazione della retta tangente, ovvero equazione dell'asse delle y. x = 0.

ii) Intersezione retta tangente e circonferenze del fascio. (k+1)y -4y-k+4 = 0

Le due soluzioni (intersezioni) sono date dalla $y = \frac{2±\sqrt{k(k-3)}}{k+1}$

iii) Imponiamo che la soluzione sia unica cioè discriminante nullo

$ Δ = 0$

$ k(k-3) = 0$

 vera per $k_1 = 0 \lor k_2 = 3$

a cui corrispondono le due circonferenze

1. per k = 0; $ x^2+y^2+2x-4y+4 = 0$

2. per k = 3; $ x^2+y^2+2x-4y+1 = 0$

(k + 1)·x^2 + (k + 1)·y^2 + 2·x - 4·y - k + 4 = 0

la riscrivo:

k·(x^2 + y^2 - 1) + (x^2 + 2·x + y^2 - 4·y + 4) = 0

Quindi risolvo il sistema:

{x^2 + y^2 - 1 = 0

{x^2 + 2·x + y^2 - 4·y + 4 = 0

che fornisce una soluzione impossibile. Questo puoi verificarlo in quanto le circonferenze generatrici del fascio non hanno alcun punto in comune.

Riscrivo:

x^2 + y^2 + 2/(k + 1)·x - 4/(k + 1)·y + (4 - k)/(k + 1) = 0

Riconosco il centro generico:

[- 1/(k + 1), 2/(k + 1)]

ed il raggio relativo:

r^2 = (- 1/(k + 1))^2 + (2/(k + 1))^2 - (4 - k)/(k + 1)

che semplifico arrivando a scrivere:

r^2 = (k^2 - 3·k + 1)/(k + 1)^2

Pongo:

(k^2 - 3·k + 1)/(k + 1)^2 ≥ 0---> k^2 - 3·k + 1 ≥ 0

quindi:

k ≤ 3/2 - √5/2 ∨ k ≥ √5/2 + 3/2

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Asse radicale:

{x^2 + 2·x + y^2 - 4·y + 4 = 0

{x^2 + y^2 - 1 = 0

--------------------------(sottraggo)

(x^2 + 2·x + y^2 - 4·y + 4 = 0) - (x^2 + y^2 - 1 = 0)

ottengo:

2·x - 4·y + 5 = 0

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Asse dei centri:

passa per i due punti:[0, 0] e [-1, 2]

Quindi y=-2x