- Riscriviamo l'equazione del fascio mettendo in luce le generatrici
$x^2+y^2-2y-4+k(-2x-2y) = 0$
Le generatrici sono:
-) la circonferenza di centro C(0,1) e raggio r = √5
-) la retta -2x-2y=0 ovvero x+y=0. Tale retta coincide con l'asse radicale.
Si tratta di risolvere il sistema formato dalle due generatrici
$\left\{\begin{aligned} x^2+y^2-2y-4 &= 0 \\ -2x-2y & = 0 \end{aligned} \right.$
La sui soluzione sono i punti A(-2, 2) e B(1, -1).
Come già notato risulta essere x+y=0
L'asse radicale ha coefficiente angolare $m_a = -1$ per cui la retta dei centri avrà un coefficiente angolare pari a $m_c = 1$ (deve essere perpendicolare all'asse).
La retta che passa per il Centro C(0,1) e ha coefficiente angolare 1 è
y - 1 = 1(x-0) cioè y = x + 1
quindi i centri di tutte le circonferenze del fascio giaceranno su tale retta.
- Circonferenza simmetrica rispetto all'asse delle x.
Riferiamoci alla $x^2+y^2-2kx-2(k-1)y - 4 = 0$
Se il generico punto (x,y) appartiene alla circonferenza allora anche il punto (x, -y) ci deve appartenere. In altre parole non deve comparire il termine con la y. Tale condizione è verificata se e solo se k=1.
- Circonferenza simmetrica rispetto all'asse delle y.
Se il generico punto (x,y) appartiene alla circonferenza allora anche il punto (-x, y) ci deve appartenere. In altre parole non deve comparire il termine con la x. Tale condizione è verificata se e solo se k=0.
- Circonferenza simmetrica rispetto all'origine degli assi.
Se il generico punto (x,y) appartiene alla circonferenza allora anche il punto (-x, -y) ci deve appartenere. In altre parole non deve comparire ne il termine con la x ne il termine con la y . Tale condizione è verificata se e solo se k=0 e nello stesso momento k=1 e questo è impossibile.
