[Risolto] ex. 41 pag484 ELLISSE

Scrivi l'equazione dell'ellisse riferita al centro e agli assi che ha un vertice in B(0; - 1) ed è tangente alla retta 4x + 15y - 25 = 0 nel punto T. Determina poi sull'arco di ellisse che si trova nel terzo quadrante un punto P in modo che l'area del triangolo valga 4.

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x^2/α + y^2/β = 1

passa per [0, -1]

0^2/α + (-1)^2/β = 1---> 1/β = 1--> β = 1

Quindi a sistema:

{x^2/α + y^2 = 1

{4·x + 15·y - 25 = 0

Risolvo la seconda: y = (25 - 4·x)/15

procedo per sostituzione

x^2/α + ((25 - 4·x)/15)^2 - 1 = 0

(x^2·(16·α + 225) - 200·α·x + 400·α)/(225·α) = 0

x^2·(16·α + 225) - 200·α·x + 400·α = 0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

(- 100·α)^2 - (16·α + 225)·(400·α) = 0

3600·α^2 - 90000·α = 0

α·(α - 25) = 0

α = 25 ∨ α = 0

x^2/25 + y^2 = 1---> x^2 + 25·y^2 = 25

Risolvo rispetto ad y: y = - √(25 - x^2)/5 ∨ y = √(25 - x^2)/5

Punto di tangenza T (appartiene al 1° quadrante)

x^2·(16·25 + 225) - 200·25·x + 400·25 = 0

625·x^2 - 5000·x + 10000 = 0

625·(x - 4)^2 = 0

x = 4

y = √(25 - 4^2)/5--> y = 3/5

Quindi T [4,3/5]

Punto P [x ,- √(25 - x^2)/5] (appartiene al 3° quadrante)[

Metti nell'ordine:

[4,3/5]

[0,-1]

[x ,- √(25 - x^2)/5]

[4,3/5]

Ed applica la formula:

1/2·ABS((4·(-1) + 0·(- √(25 - x^2)/5) + x·3/5)+

- (4·(- √(25 - x^2)/5) + x·(-1) + 0·3/5)) = 4

Quindi:

1/2·ABS(4·√(25 - x^2)/5 + 8·x/5 - 4) = 4

ABS(4·√(25 - x^2)/5 + 8·x/5 - 4) = 8

4·√(25 - x^2)/5 + 8·x/5 - 4 = -8 ∨ 4·√(25 - x^2)/5 + 8·x/5 - 4 = 8

se risolvi ottieni: x = -4

y = - √(25 - (-4)^2)/5---> y = - 3/5

P [-4,-3/5]