Euclide

Il cateto maggiore di un triangolo rettangolo è 5/4  della sua proiezione sull’ipotenusa ed è anche il doppio dell’altra proiezione aumentato di 2a.  Determina l’area del triangolo.

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C = cateto maggiore=5/4·x  avendo indicato con x la sua proiezione sull'ipotenusa

C = anche =2·y + 2·a  avendo indicato con y l'altra proiezione

Quindi abbiamo a disposizione due equazioni:

{5/4·x = 2·y + 2·a

{(5/4·x)^2 = (x + y)·x  (1° teorema di Euclide)

Risolvo ed ottengo: [x = 0 ∧ y = -a, x = 16·a ∧ y = 9·a]

Quindi:

h=√((16·a)·(9·a)) = 12·a   (2° teorema di Euclide)

A= area=1/2·(16·a + 9·a)·12·a = 150·a^2

La risposta é 150 a^2 ?

Detti A e B i due cateti (B > A) e CA, CB le proiezioni sull'ipotenusa

B = 5/4 CB

B = 2 CA + 2 a

Per il teorema di Pitagora

h^2 = B^2 - CB^2 = 25/16 CB^2 - CB^2 = 9/16 CB^2

e per il II Teorema di Euclide

9/16 CB^2 = CA CB

CB = 16/9 CA

che forma un sistema lineare con

5/4 CB = 2 CA + 2a

Seconda parte.

5/4 * 16/9 CA - 2 CA = 2a

20/9 CA - 2 CA = 2a

2/9 CA = 2a

CA = 9a

CB = 16 a

C = 9a + 16 a = 25 a

h = 3/4 CB = 12 a

S = 1/2 C h = 1/2 * 25 a * 12 a = 150 a^2