"Vorrei sapere se è giusto così"
Vorrei saperlo anch'io, ma sono lento (me lo contesta anche un nipote tredicenne!): per saperlo devo rifarmi i conti con la mia lentezza.
Il tuo link a WolframAlpha dà quattro creste e un ventre, bono a sapesse! Mo si tratta di ritrovarli.
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Da
* f(x, y) = z = (x*y^2)*e^(x - y)
mi calcolo il gradiente e i suoi zeri
* nabla[f(x, y)] = {((x + 1)*y^2)*e^(x - y), - x*y*(y - 2)*e^(x - y)}
* (((x + 1)*y^2)*e^(x - y) = 0) & (- x*y*(y - 2)*e^(x - y) = 0) ≡
≡ ((x + 1)*y^2 = 0) & (x*y*(y - 2) = 0) ≡
≡ ((x = - 1) oppure (y = 0)) & (x = 0) oppure ((x = - 1) oppure (y = 0)) & (y = 0) oppure ((x = - 1) oppure (y = 0)) & (y = 2) ≡
≡ (x = - 1) & (x = 0) oppure (y = 0) & (x = 0) oppure (x = - 1) & (y = 0) oppure (y = 0) & (y = 0) oppure (x = - 1) & (y = 2) oppure (y = 0) & (y = 2) ≡
≡ (falso) oppure (0, 0) oppure (- 1, 0) oppure (y = 0) oppure (- 1, 2) oppure (falso)
cioè gli zeri del gradiente sono sull'intero asse x e nei tre punti
* (- 1, 0), (- 1, 2), (0, 0)
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Poi l'Hessiana
* H(x, y) = {{((x + 2)*y^2)*e^(x - y), (x + 1)*(2 - y)*y*e^(x - y)}, {(x + 1)*(2 - y)*y*e^(x - y), x*(y^2 - 4*y + 2)*e^(x - y)}}
e l'hessiano
* h(x, y) = det[H(x, y)] = - ((2*x^2 + 4*x + (y - 2)^2)*y^2)*e^(2*(x - y))
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Poi valuto l'hessiano sugli zeri del gradiente
* h(x, 0) = - ((2*x^2 + 4*x + (0 - 2)^2)*0^2)*e^(2*(x - 0)) = 0
* h(- 1, 0) = - ((2*(- 1)^2 + 4*(- 1) + (0 - 2)^2)*0^2)*e^(2*((- 1) - 0)) = 0
* h(- 1, 2) = - ((2*(- 1)^2 + 4*(- 1) + (2 - 2)^2)*2^2)*e^(2*((- 1) - 2)) = 8/e^6 > 0
* h(0, 0) = - ((2*0^2 + 4*0 + (0 - 2)^2)*0^2)*e^(2*(0 - 0)) = 0
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CONCLUSIONE
Hai ragione tu e WolframAlpha s'è inventato le creste (accade spesso che s'inventi qualcosa), tutte sull'asse x a meno delle approssimazioni numeriche e SENZA VENTRI INTERMEDII; chiaro sintomo di approssimazioni sballate.
