[Risolto] Espressione con i numeri complessi

Si fa rammentando che addizioni e sottrazioni si fanno fra rappresentazioni per componenti (cartesiana o polare trigonometrica) mentre moltiplicazioni e divisioni (con potenze e radici a esponente razionale) si fanno fra rappresentazioni polari esponenziali.
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RIPASSO
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* (x, y, ρ, θ reali) & (ρ > 0) & (0 <= θ < 2*π)
* valore complesso: z = x + i*y = ρ * e^(i*θ) = ρ * (cos(θ) + i*sin(θ))
* coniugato di z: z' = x - i*y
* modulo di z: |z| = ρ = |x + i*y| = √(z*z') = √(x^2 + y^2)
* |e^(i*θ)| = |cos(θ) + i*sin(θ)| = 1
* argomento (o anomalia) di z: arg(z) = θ
** x < 0: θ = π + arctg(y/x)
** x = 0: θ = π/2
** x > 0: θ = arctg(y/x)
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ESERCIZIO 249
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Esame dei pezzi componenti
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* 6*π/5 = 216°
* cos(6*π/5) = - (1 + √5)/4
* sin(6*π/5) = - √(2*(5 - √5))
* arg(cos(6*π/5) + i*sin(6*π/5)) = (6*π/5)
* |10*(cos(6*π/5) + i*sin(6*π/5))| = 10
* 10*(cos(6*π/5) + i*sin(6*π/5)) = 10*e^(i*(6*π/5))
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* 31*π/30 = 186°
* cos(31*π/30) = - √(7 + √5 + √(6*(5 + √5)))/4
* sin(31*π/30) = (1 + √5 - √(6*(5 - √5)))/8
* bla, bla, bla, ...
* (1 - i*√3)*(cos(31*π/30) + i*sin(31*π/30)) = (1 - i*√3)*e^(i*(31*π/30))
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* |(1 - i*√3)| = 2
* arg(1 - i*√3) = 5*π/3
* (1 - i*√3) = 2*e^(i*(5*π/3))
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* (1 - i*√3)*(cos(31*π/30) + i*sin(31*π/30)) =
= (2*e^(i*(5*π/3)))*e^(i*(31*π/30)) =
= 2*e^(i*(5*π/3 + 31*π/30)) = 2*e^(i*(27*π/10))
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Espressione #249
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* 10*(cos(6*π/5) + i*sin(6*π/5))/((1 - i*√3)*(cos(31*π/30) + i*sin(31*π/30))) =
= 10*e^(i*(6*π/5))/(2*e^(i*(27*π/10))) =
= 5*e^(i*(6*π/5 - 27*π/10)) =
= 5*e^(i*(- 3*π/2)) = 5*e^(i*(π/2)) =
= 5*(cos(π/2) + i*sin(π/2)) =
= 5*(0 + i*1) =
= i*5
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CONTROPROVA nel paragrafo "Results" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify%2810*%28cos%286*%CF%80%2F5%29--i*sin%286*%CF%80%2F5%29%29%2F%28%281-i*%E2%88%9A3%29*%28cos%2831*%CF%80%2F30%29--i*sin%2831*%CF%80%2F30%29%29%29%29

Per fare più in fretta passo per la forma esponenziale

10 e^(i *6/5 pi) /[( 1 - rad(3) ) * e^(i * 31/30 pi) ] =

= 10 e^(i (36 - 31)/30 pi )/(1 - rad 3) =

= 10 e^(pi/6)/(1 - rad 3) =

= 10 e^(i pi/6)/( 2 e^(i pi/3)) =

= 5 e^(- i pi/6) =

= 5/2 (rad(3) - i).

Sarebbe stata gradita la risposta.