Sulla retta congiungente due cariche $+Q$ e $-q$, con $Q \neq q$ e $+Q$ posta a sinistra di $-q$, il potenziale elettrico complessivo del sistema si annulla in due punti $A$ e $B$. Il punto $A$ si trova tra le cariche a una distanza $a=10 \mathrm{~cm}$ dalla carica negativa, mentre il punto $B$ si trova a una distanza $b=30 \mathrm{~cm}$ a destra di quella negativa.
Calcola la distanza $d$ tra le cariche.
Calcola il rapporto $\frac{Q}{q}$ tra le cariche.
$[30 \mathrm{~cm} ; 2]$
9
punti
Livello 0
Per calcolare la distanza tra le cariche e il rapporto tra di esse, possiamo utilizzare il concetto di potenziale elettrico. Quando il potenziale elettrico complessivo in un punto è nullo, significa che l’energia potenziale elettrica dovuta alle due cariche è uguale in valore assoluto e opposta per segno.
Supponiamo che la carica negativa sia Q₁ e la carica positiva sia Q₂, dove Q₂ è maggiore in valore assoluto rispetto a Q₁.
1. Distanza tra le cariche:
Denotiamo la distanza tra le cariche come d. Poiché il potenziale si annulla in due punti, sappiamo che l’energia potenziale elettrica dovuta a Q₁ in un punto a sinistra di Q₁ (come il punto E) deve essere uguale in valore assoluto e opposta per segno all’energia potenziale elettrica dovuta a Q₂ in un punto a destra di Q₂ (come il punto F).
Quindi, possiamo scrivere:
[k * |Q₁| / (d - x) = k * |Q₂| / x]
dove k è la costante elettrica, |Q₁| e |Q₂| sono i valori assoluti delle cariche, e x è la distanza tra la carica Q₁ e il punto E (e anche la distanza tra Q₂ e il punto F).
2. Rapporto tra le cariche:
Il rapporto tra le cariche Q₁ e Q₂ è dato da:
[Q₁ / Q₂]
Ora possiamo risolvere il sistema di equazioni ottenuto dal fatto che il potenziale si annulla in E e F e calcolare il rapporto tra le cariche.
Risolviamo il sistema:
[k * |Q₁| / (d - x) = k * |Q₂| / x]
Per semplificare, possiamo eliminare k da entrambi i lati:
[|Q₁| / (d - x) = |Q₂| / x]
Ora possiamo trovare x:
[|Q₁| * x = |Q₂| * (d - x)]
[|Q₁| * x + |Q₂| * x = |Q₂| * d]
[x * (|Q₁| + |Q₂|) = |Q₂| * d]
[x = (|Q₂| * d) / (|Q₁| + |Q₂|)]
Ora, possiamo calcolare il rapporto tra le cariche:
[Q₁ / Q₂ = |Q₁| / |Q₂| = (|Q₁| / |Q₂|) * (|Q₂| / |Q₂|) = (|Q₁| / |Q₂|) * (1 / 1) = |Q₁| / |Q₂| = (x * (|Q₁| + |Q₂|)) / (|Q₂| * d)]
Sostituendo il valore di x ottenuto in precedenza:
[Q₁ / Q₂ = ((|Q₂| * d) / (|Q₁| + |Q₂|) * (|Q₁| + |Q₂|)) / (|Q₂| * d)]
Le |Q₁ + Q₂| si cancellano:
[Q₁ / Q₂ = (|Q₂| * d) / (|Q₂| * d) = 1]
Quindi, il rapporto tra le cariche è 1, il che significa che Q₁ è uguale in valore assoluto a Q₂. Per calcolare la distanza tra le cariche, dovremmo conoscere i valori numerici di Q₁ e Q₂ e il valore numerico di d.
29
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Livello 0
k * (Q/(d-a) - q/a) = 0
k * (Q/(d+b) - q/b) = 0
(d+b)/(d-a) = b/a
a*(d+b) = b*(d-a)
d*(b - a) = 2a*b
d = 2a*b/(b-a) = 2*10*30/20 = 30 cm
Q/q = (d-a)/a = (30-10)/10 = 2
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Livello 1
