Nel riferimento cartesiano Oxyz, si consideri il paraboloide ellittico di equazione x^2+2y^2+z^2-2xz+4x+2y-1=0. Determinare le coordinate del vertice nel riferimento cartesiano.
Nel riferimento cartesiano Oxyz, si consideri il paraboloide ellittico di equazione x^2+2y^2+z^2-2xz+4x+2y-1=0. Determinare le coordinate del vertice nel riferimento cartesiano.
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Livello 1
Avevi la soluzione a portata di mano?
Ciao, la superficie è:
x^2 + 2·y^2 + z^2 - 2·x·z + 4·x + 2·y - 1 = 0
che si può scrivere come somma di due addendi:
(x - z)^2 + (2·y^2 + 4·x + 2·y - 1) = 0
Quindi si devono verificare due circostanze entrambe nulle:
{(x - z)^2 = 0
{2·y^2 + 4·x + 2·y - 1 = 0
Dalla prima ho:
x = z
per sostituzione:
2·y^2 + 4·z + 2·y - 1 = 0
che risolta rispetto a z:
z = - (2·y^2 + 2·y - 1)/4
da origine ad una sezione parabolica:
z = - y^2/2 - y/2 + 1/4
Il cui vertice è pure il vertice del paraboloide ellittico.
y = - b/(2·a) è l'asse:
y = 1/2/(-1)---> y = - 1/2
z = - (- 1/2)^2/2 - (- 1/2)/2 + 1/4----> z = 3/8
quindi vertice del paraboloide: [3/8, - 1/2, 3/8]
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Genius II
* x^2 + 2*y^2 + z^2 - 2*x*z + 4*x + 2*y - 1 = 0 ≡
≡ (x < 3/8) & ((- 1 - √(3 - 8*x))/2 < y < (- 1 + √(3 - 8*x))/2) &
& (z = x ± √(1 - 2*(2*x + y^2 + y)))
Nel vertice della parabola di definizione reale, (x, y) = (3/8, - 1/2), si ha
* z = 3/8 ± √(1 - 2*(2*3/8 + (- 1/2)^2 - 1/2)) =
= 3/8 ± 0
cioè
* V(3/8, - 1/2, 3/8)
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Genius I
@exprof non ho ben capito come è stato ricavato (x < 3/8) & ((- 1 - √(3 - 8*x))/2 < y < (- 1 + √(3 - 8*x))/2) &
& (z = x ± √(1 - 2*(2*x + y^2 + y)))
@fedefanni
Da Γ ricavo z; impongo radicando positivo ricavando y (parabola); impongo radicando positivo ricavando x (vertice).