Esercizio Trigonometria

a)

In un triangolo isoscele l'unico angolo che può essere ottuso è quello al vertice. Dato che

$B=C=arcsin(\sqrt{5}/5)\approx 26.6^\circ$

allora l'angolo $A$ dev'essere ottuso.

b) Qui credo ci sia un errore nella traccia. Forse sta sfuggendo a me un errore nei conti, ma ho ricontrollato più volte e AP. Ti do comunque il procedimento, magari prova a rifare tu i conti:

Sia $x=MA$.

Essendo MAN un triangolo rettangolo, il cateto NA adiacente all'angolo MAN è:

$AN=MAcos(MAN) = x \cos(\pi-A)= - x\cos(A)$

dove

$cos(A)= -\sqrt{1-sin^2A} = -\sqrt{1-(\frac{4}{5})^2}= -\frac{3}{5}$

(il segno meno è dovuto al fatto che A è ottuso).

Dunque:

$AN = \frac{3}{5} x$

Ovviamente possiamo calcolare il segmento BN come somma:

$BN = AB + AN = 5 + \frac{3}{5} x$

Passiamo al triangolo rettangolo MPC, in cui MP è il cateto opposto all'angolo C:

$ MP = MC sin C$

e considerando che:

$MC = AC - AM = 5-x$

abbiamo:

$ MP = (5-x)\frac{\sqrt{5}}{5}$

Ci rimane da calcolare AP, che trovare usando il teorema del coseno sul triangolo APC.

Abbiamo che:

$cosC= \sqrt{1-sin^2C} = \sqrt{1-\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$AC = 5$

$PC = MCcosC= (5-x)\frac{2\sqrt{5}}{5}$

dunque

$AP^2 = PC^2 + AC^2 - 2(PC)(AC)cosC$

$AP^2 = ((5-x)\frac{2\sqrt{5}}{5})^2 + 5^2 - 2((5-x)\frac{2\sqrt{5}}{5})(5)\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{4}{5}(5-x)^2+25-8(5-x) = \frac{4}{5}x^2+5$

Abbiamo tutti i dati a disposizione:

$5NA -2AP+3MP = 6$

$5(\frac{3}{5} x) - 2\sqrt{\frac{4x^2}{5}+5} +3(5-x)\frac{\sqrt{5}}{5} = 6$

qui si dovrebbe risolvere l'equazione, ma se AP uscisse senza radice sarebbe possibile, invece così l'equazione non ammette soluzioni reali.

Comunque il procedimento da seguire è questo.