Esercizio teorico polibomi

$\textbf{a.}$ L'espressione è un polinomio per un qualunque valore $n$ tale che l'esponente di ciascuno dei monomi che prendono parte alla formazione del polinomio sia un numero naturale, è posto che $n \in \mathbb{N}$, allora il termine di grado minore è sicuramente $x^{n-2}$ (perché $n \neq 0$ altrimenti avremmo esponenti negativi), quindi basta porre che $n-2 \geq 0 \implies n \geq 2$.

$\textbf{b.}$ Questa espressione è un polinomio completo se gli esponenti di tutti i termini sono numeri interi consecutivi e il termine con esponente più basso lo ha di $0$. Guardando i monomi possiamo vedere che sono già stati ordinati in ordine decrescente, quindi perché questo sia un polinomio completo serve che $2n$ sia il successore di $n+1$, in altre parole $2n-n-1=1 \implies n=2$, per $n=2$ il polinomio è effettivamente completo.

$\textbf{c.}$ No, il polinomio non può avere grado massimo $6$, perché se avesse grado $6$ allora $n=3$, ma se $n=3$ il coefficiente del termine di grado più alto è nullo, quindi non esiste il termine di grado $6$, quindi il polinomio non ha grado $6$.

$\textbf{d.}$ Il polinomio può assumere un qualsiasi grado a partire da $4$ ed escluso $6$, non si possono ottenere numeri diversi per via delle restrizioni su $n$, dato che il grado più basso che può assumere questo polinomio è quello per cui è completo e abbiamo già spiegato perché non può assumere grado $6$ in $\textbf{c.}$.

Ecco fatto! Spero di essere stato esauriente, se dovessi avere delle perplessità commenta la risposta e mi impegnerò a chiarire i tuoi dubbi!