[Risolto] Esercizio Teorema di Weierstras

Quale "Teorema di Weierstrass"?
W1 ≡ «Sia [a, b] ⊂ R un intervallo chiuso e limitato non vuoto e sia f: [a, b] → R una funzione continua.
Allora f(x) ammette (almeno) un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto nell'intervallo [a,b].»
oppure
W2 ≡ «Sia [a, b] ⊂ R un intervallo chiuso e limitato non vuoto e sia f: [a, b] → R una funzione continua.
Allora f(x) è approssimabile con un polinomio di grado opportuno (determinato dal massimo scostamento richiesto su [a,b]).»
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Per soddisfare alle ipotesi di uno qualsiasi dei due occorre e basta avere f(x) definita e continua su un intervallo reale chiuso, limitato e non vuoto.
Per verificarli, occorre e basta esibire o i valori degli estremi assoluti (W1) o la formula di un polinomio approssimante (W2).
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NEL CASO IN ESAME
Spero non ti dispiaccia, ma io il parametro lo chiamo k (per devozione), non α.
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E' data la funzione di x, parametrica in k, definita per distinzione di casi
* per 1 <= x <= 3/2: f(x) = x^2 - k
* per 3/2 < x <= 2: f(x) = sin(π*x)
sull'intervallo reale [1, 2] chiuso, limitato e non vuoto; per k = 13/4 se ne ottiene anche la continuità (sin(π*3/2) = (3/2)^2 - k ≡ k = 13/4).
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Gli estremi assoluti si cercano fra i valori alla frontiera
f(1) = 1^2 - 13/4 = - 9/4 = - 2.25
f(2) = sin(π*2) = 0
e quelli degli eventuali estremi relativi in [1, 2].
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La parabola
* p(x) = x^2 - 13/4 = (x - 0)^2 - 13/4
avendo il vertice V(0, - 13/4) non ha estremi relativi in [1, 2].
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La sinusoide
* s(x) = sin(π*x)
ha, in [1, 2], solo il ventre
* s(3/2) = - 1
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La ricerca sull'insieme delle tre coppie {x, f(x)} individuate
* {{1, - 2.25}, {3/2, - 1}, {2, 0}}
fornisce
* minimo assoluto: f(1) = - 9/4 = - 2.25
* massimo assoluto: f(2) = 0
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Per il polinomio approssimante ti lascio il piacere di cercarlo da te.