[Risolto] Esercizio superficie di rotazione

Scriviamo in forma parametrica anche la prima retta, per comodità:

{$x-y=1$

{$y-2z=0$

Poniamo ad esempio $z=n$, quindi:

{$x=2n+1$

{$y = 2n$

{$z=n$

Dunque $s(n)=(2n+1, 2n, n)$.

Ora ogni punto di s ruota in un piano ortogonale alla retta r. 

Ora dato un punto di $s$, il piano per esso passante e perpendicolare a s, avente dunque come vettore direttore proprio (2,2,1) ha equazione:

$ 2(x-2n-1) +2(y-2n) +1(z-n) = 0$

L'intersezione tra questo piano e la retta $r$ è:

$ 2(t-2n-1) +2(t-2n) +1(t-n) = 0$

da cui

$ 2t -4n -2 +2t -4n +t -n =0$

$ 5t -9n -2 = 0$

$ t = \frac{9n+2}{5}$.

Quindi la distanza tra $(2n+1,2n,n)$ e il centro di rotazione $(t,t,t+1)$ con t appena determinato è:

$ PC^2 = (2n+1-t)^2 + (2n-t)^2 + (n-t-1)^2$

$ PC^2 = (2n+1-\frac{9n+2}{5})^2 + (2n-\frac{9n+2}{5})^2 + (n-\frac{9n+2}{5}-1)^2$

$ PC^2 = \frac{62+58n+18n^2}{25}$

Dato che la distanza dev'essere $\sqrt{2}$ poniamo:

$PC^2 = \frac{62+58n+18n^2}{25} = 2$

da cui

$ n=-3$ o $n=-2/9$

I piani sono quindi:

$ 2(x-2n-1) +2(y-2n) +1(z-n) = 0$

$ 2(x+5)+2(y+6)+(z+3)=0$ -> $2x+2y+z+25=0$

e 

$2(x-5/9)+2(t+4/9)+z+2/9=0$ -> $2x+2y+z=0$

Noemi