[Risolto] Esercizio sull'ellisse

Ti ho rappresentato l'ellisse identificando i punti fondamentali, e ti ho impostato i sistemi per trovare le due parabole richieste dal punto b), credo tu possa andare avanti da sola 🙂

SEMPRE RILEGGERE (e correggere!) PRIMA DI CLICKARE "Invio".
Rimedio all'evidente errore di battitura basandomi sul Titolo e sull'ordine di scrittura dei monomi; tale mia interpretazione è
E' data la forma normale canonica
* 25*x^2 + 9*y^2 - 200*x - 18*y + 184 = 0
della quale, per ispezione, si può dire che:
* rappresenta una conica [polinomio di grado due in due variabili];
* è a centro, non una parabola [25*x^2 + 9*y^2 != (a*x + c*y)^2];
* ha gli assi di simmetria paralleli a quelli coordinati [in b*x*y, b = 0].
Per ulteriori informazioni occorre avere l'equivalente forma normale standard
* 25*x^2 + 9*y^2 - 200*x - 18*y + 184 = 0 ≡
≡ 25*(x^2 - 8*x) + 9*(y^2 - 2*y) + 184 = 0 ≡
≡ 25*((x - 4)^2 - 4^2) + 9*((y - 1)^2 - 1^2) + 184 = 0 ≡
≡ 25*(x - 4)^2 - 25*4^2 + 9*(y - 1)^2 - 9*1^2 + 184 = 0 ≡
≡ (5^2)*(x - 4)^2 + (3^2)*(y - 1)^2 = 15^2 ≡
≡ (x - 4)^2/(15/5)^2 + (y - 1)^2/(15/3)^2 = 1 ≡
≡ ((x - 4)/3)^2 + ((y - 1)/5)^2 = 1
della quale, per ispezione, si può dire che:
* rappresenta un'ellisse reale [tutt'e tre i termini sono positivi];
* centrata in C(4, 1);
* con semiassi (a, b) = (3, 5).
Lo studio si completa con:
* semidistanza focale c = √(|a^2 - b^2|) = 4;
* eccentricità e = semidistanzaFocale/semiasseMaggiore = 4/5;
* vertici dell'asse minore: (4 ± 3, 1);
* vertici dell'asse maggiore: (4, 1 ± 5);
* fuochi: (4, 1 ± 4);
* rappresentazioni grafiche (e altro, nei paragrafi indicati):
vedi anche il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plane+curve+25*x%5E2%2B9*y%5E2-200*x-18*y%2B184%3D0
vedi anche il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B25*x%5E2%2B9*y%5E2-200*x-18*y%2B184%3D0%2C%28x-4%29*%28y-1%29%3D0%5D
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FINE DEL PUNTO a), l'unico in cui vedere un trattamento sistematico costituisce un aiuto alla comprensione.
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I punti b) e c) sono solo esercizietti applicativi, pur di affrontarli senza arzigogolare con procedure generali: basta riconoscere i casi particolari e come tali trattarli.
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PUNTO b)
Il centro dell'ellisse è C(4, 1), sulla retta y = 1.
Pertanto sia i fuochi che "i punti ... di ascissa 4" sono di pari ascissa e di ordinate simmetriche rispetto ad y = 1.
Ne segue che le due parabole di vertice M(0, 1) hanno
* asse di simmetria y = 1
* equazione x = a*(y - yM)^2 + xM = a*(y - 1)^2
con l'apertura (a != 0) che si determina da una condizione di passaggio.
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PUNTO c)
Qui il riconoscimento del caso particolare è ancora più semplice perché le aree da calcolare furono già definite da Archimede: «L'area del segmento parabolico retto è due terzi dell'area del rettangolo circoscritto.».