Riprendo l'esercizio da capo, così che possa essere utile anche ad altri utenti.
$\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n\ln^2n} e^{-n|x-x^2|}$
Giustamente consideriamo il cambio di variabile:
$t=e^{-|x-x^2|}$
per cui otteniamo la serie di potenze:
$\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n\ln^2n} t^n$
di centro $t_0 = 0$ e termine generale:
$a_n = \frac{1}{n\ln^2n}$
Il raggio di convergenza sarà:
$L=\lim_{n} \frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n}\frac{nln^2n}{(n+1)ln^2(n+1)}= \lim_{n}\frac{nln^2n}{(n+1)ln^2(n)} = \lim_n \frac{n}{n+1} = 1$
dunque $R=1/L = 1$.
La serie di potenze converge puntualmente per $|t-t_0|<1$ dunque per $-1<t<1$.
Ritornando in x abbiamo dunque che la serie converge puntualmente per:
$-1 < e^{-|x-x^2|} < 1$
che dobbiamo esplicitare.
Nota che la disequazione
$ e^{-|x-x^2|} > -1$
è sempre verificata essendo l'esponenziale sempre positivo.
Dobbiamo risolvere invece:
$e^{-|x-x^2|} < 1$
passando ai logaritmi:
$ -|x-x^2| < 0$
$ |x-x^2| > 0$
Il valore assoluto è sempre positivo, per cui la disequazione è verificata $\forall x \neq 0$
Abbiamo la convergenza puntuale dunque $\forall x \neq 0$.
Cosa succede se $x=0$?
Andando a sostituire nella serie otteniamo:
$\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n\ln^2n} e^{0} = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n\ln^2n}$
otteniamo la serie armonica modificata del tipo:
$\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha ln^\beta n}$
che per $\alpha=1$ e $\beta=2$ converge.
Dunque la convergenza è puntuale $\forall x \in R$ ed è uniforme in ogni intervallo chiuso e limitato.
Noemi
